动手实践：计算基本统计量

现在我们已经讨论了描述性统计的各项基础知识，接下来让我们实际操作一下。这项实践练习将引导你为一小份数据集计算均值、中位数、众数、极差、方差和标准差。至少手动计算一次这些值，有助于巩固你对这些值所代表意义的理解，然后再使用软件工具。

我们的样本数据集：考试分数

假设一个小型班级进行了一次小测验，他们的成绩（满分100分）如下：

[85, 90, 78, 92, 85, 88, 76, 95, 85, 90]

这个列表代表了我们的数据集。让我们使用学过的统计方法来分析这些分数。

计算集中趋势衡量指标

这些统计量帮助我们了解数据的“中心”或典型值。

1. 均值（平均值）

均值是所有数值的总和除以数值的数量。公式是： $\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$ 在此，$x_i$ 表示每个分数，$n$ 是分数总数。

• 分数总和： $85 + 90 + 78 + 92 + 85 + 88 + 76 + 95 + 85 + 90 = 864$
• 分数数量 (n)： $10$
• 均值： $\bar{x} = \frac{864}{10} = 86.4$

本次测验的平均分数是86.4。

2. 中位数（中间值）

中位数是数据排序后的中间值。如果数据点数量为偶数，则是两个中间值的平均值。

• 首先，对分数进行排序： [76, 78, 85, 85, 85, 88, 90, 90, 92, 95]
• 分数数量 (n)： $10$（偶数）
• 中间位置： 对于 $n=10$，中间位置是第5个和第6个值。
• 中间位置的值： 第5个分数是85，第6个分数是88。
• 中位数： $M_e = \frac{85 + 88}{2} = \frac{173}{2} = 86.5$

中位数是86.5。半数学生得分低于86.5，另半数学生得分高于86.5。

3. 众数（最常出现的值）

众数是数据集中出现次数最多的值。

• 排序后的分数： [76, 78, 85, 85, 85, 88, 90, 90, 92, 95]
• 出现次数：
  • 76: 1次
  • 78: 1次
  • 85: 3次
  • 88: 1次
  • 90: 2次
  • 92: 1次
  • 95: 1次
• 众数： 分数85出现次数最多（3次）。

众数分数是85。

计算离散程度衡量指标（变异性）

这些统计量告诉我们数据点是如何分散或离散的。

1. 极差

极差是最高值和最低值之间的差。

• 最高分 (Max)： 95
• 最低分 (Min)： 76
• 极差： $Max - Min = 95 - 76 = 19$

分数跨度为19分。

2. 方差（样本方差，$s^2$）

方差衡量每个分数与均值的平均平方差。我们使用样本方差公式（除以 $n-1$），因为我们的分数代表了学生潜在表现的一个样本。

The formula is: $s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n-1}$

让我们逐一分析：

1. 均值 ($\bar{x}$)： 我们计算得出为86.4。
2. 计算与均值的偏差 ($x_i - \bar{x}$)：
   • $85 - 86.4 = -1.4$
   • $90 - 86.4 = 3.6$
   • $78 - 86.4 = -8.4$
   • $92 - 86.4 = 5.6$
   • $85 - 86.4 = -1.4$
   • $88 - 86.4 = 1.6$
   • $76 - 86.4 = -10.4$
   • $95 - 86.4 = 8.6$
   • $85 - 86.4 = -1.4$
   • $90 - 86.4 = 3.6$
3. 将偏差平方 ($(x_i - \bar{x})^2$)：
   • $(-1.4)^2 = 1.96$
   • $(3.6)^2 = 12.96$
   • $(-8.4)^2 = 70.56$
   • $(5.6)^2 = 31.36$
   • $(-1.4)^2 = 1.96$
   • $(1.6)^2 = 2.56$
   • $(-10.4)^2 = 108.16$
   • $(8.6)^2 = 73.96$
   • $(-1.4)^2 = 1.96$
   • $(3.6)^2 = 12.96$
4. 对平方偏差求和 ($\sum (x_i - \bar{x})^2$)： $1.96 + 12.96 + 70.56 + 31.36 + 1.96 + 2.56 + 108.16 + 73.96 + 1.96 + 12.96 = 318.4$
5. 除以 $n-1$： 在这里，$n=10$，所以 $n-1=9$。
   • 方差 ($s^2$)： $\frac{318.4}{9} \approx 35.38$

样本方差大约是35.38。这个值以“平方点”为单位，不太直观。

3. 标准差（样本标准差，$s$）

标准差是方差的平方根。它为我们提供了衡量数据分散程度的指标，以原始单位（测验分数）表示。

The formula is: $s = \sqrt{s^2}$

• 标准差 ($s$)： $\sqrt{35.38} \approx 5.95$

样本标准差大约是5.95分。这表明，平均而言，分数倾向于偏离均值86.4分约5.95分。

结果总结

对于我们的数据集 [85, 90, 78, 92, 85, 88, 76, 95, 85, 90]：

• 均值： 86.4
• 中位数： 86.5
• 众数： 85
• 极差： 19
• 方差 ($s^2$)： 大约35.38
• 标准差 ($s$)： 大约5.95

均值和中位数非常接近，表明分数分布相对对称地围绕中心。众数略低。标准差让我们对围绕平均分数的典型分散程度有所了解。

频率分布与可视化

我们还可以查看分数在特定范围（区间）内的频率。让我们将分数按5个单位的宽度分组：

• 75-79：2个分数 (76, 78)
• 80-84：0个分数
• 85-89：4个分数 (85, 85, 85, 88)
• 90-94：3个分数 (90, 90, 92)
• 95-99：1个分数 (95)

这种频率分布可以使用直方图进行可视化：

直方图显示了学生分数在5分区间内的频率。最高的条形对应85-89的范围，反映了众数（85）落在这个区间内。

使用工具

虽然手动计算对于学习有益，但实际操作中，你会使用软件工具。Google 表格或 Microsoft Excel 等电子表格程序具有类似 AVERAGE()、MEDIAN()、MODE.SNGL()、MAX()、MIN()、VAR.S() 和 STDEV.S() 等功能。Python等编程语言，结合像 NumPy 或 Pandas 这样的库，提供类似的功能（例如 mean()、median()、mode()、var()、std()），这使得这些计算毫不费力，特别是对于大型数据集。

本次实践练习展示了如何计算基本描述性统计量。这些数字首先提供了数据特点的重要总结，为更详细的分析提供了起点。