优化即推断：变分推断的观点

直接计算贝叶斯模型中的后验分布$p(\mathbf{z}|\mathbf{x})$常常因为难以处理的证据项$p(\mathbf{x}) = \int p(\mathbf{x}, \mathbf{z}) d\mathbf{z}$而受阻。虽然MCMC方法提供了一种强大的基于模拟的方法，通过生成样本来近似后验分布，但它们可能需要大量的计算资源和时间，尤其是在处理大数据集或高维参数空间时。

变分推断（VI）提供了一种完全不同的方法。VI不从后验分布中模拟样本，而是将推断问题转换为优化问题。核心思想是针对潜在变量$\mathbf{z}$，选择一个概率分布族$\mathcal{Q}$，其中每个分布$q(\mathbf{z}) \in \mathcal{Q}$都设计为易于处理（例如易于计算期望、密度等）。随后，我们在这个分布族中寻找一个特定的分布$q^*(\mathbf{z})$，使其“最接近”真实但难以处理的后验分布$p(\mathbf{z}|\mathbf{x})$。

度量接近程度：KL散度

我们如何量化近似分布$q(\mathbf{z})$与真实后验分布$p(\mathbf{z}|\mathbf{x})$之间的“接近程度”？VI中标准的度量是库尔巴克-莱布勒（KL）散度，记作$KL(q || p)$。对于我们特定的情况，其定义如下：

$$KL(q(\mathbf{z}) || p(\mathbf{z}|\mathbf{x})) = \int q(\mathbf{z}) \log \frac{q(\mathbf{z})}{p(\mathbf{z}|\mathbf{x})} d\mathbf{z}$$

KL散度总是非负的（$KL(q || p) \ge 0$），并且当且仅当$q(\mathbf{z})$和$p(\mathbf{z}|\mathbf{x})$几乎处处相等时，KL散度为零。最小化此KL散度意味着在选定的分布族$\mathcal{Q}$中找到最能匹配真实后验分布的$q(\mathbf{z})$。

挑战与方案：引入ELBO

初看起来，最小化$KL(q(\mathbf{z}) || p(\mathbf{z}|\mathbf{x}))$似乎并未解决我们最初的问题。直接计算KL散度仍然需要计算真实后验分布$p(\mathbf{z}|\mathbf{x})$，而这又涉及到难以处理的证据项$p(\mathbf{x})$。

然而，我们可以对KL散度的定义进行代数重排。让我们使用条件概率的定义$p(\mathbf{z}|\mathbf{x}) = \frac{p(\mathbf{x}, \mathbf{z})}{p(\mathbf{x})}$展开对数内部的项：

$$KL(q(\mathbf{z}) || p(\mathbf{z}|\mathbf{x})) = \int q(\mathbf{z}) \log \frac{q(\mathbf{z}) p(\mathbf{x})}{p(\mathbf{x}, \mathbf{z})} d\mathbf{z}$$

我们可以分离对数中的各项：

$$KL(q(\mathbf{z}) || p(\mathbf{z}|\mathbf{x})) = \int q(\mathbf{z}) \log q(\mathbf{z}) d\mathbf{z} - \int q(\mathbf{z}) \log p(\mathbf{x}, \mathbf{z}) d\mathbf{z} + \int q(\mathbf{z}) \log p(\mathbf{x}) d\mathbf{z}$$

识别这些积分是关于$q(\mathbf{z})$的期望，并注意到$\log p(\mathbf{x})$是相对于$\mathbf{z}$的常数（因此$\int q(\mathbf{z}) \log p(\mathbf{x}) d\mathbf{z} = \log p(\mathbf{x}) \int q(\mathbf{z}) d\mathbf{z} = \log p(\mathbf{x})$），我们得到：

$$KL(q(\mathbf{z}) || p(\mathbf{z}|\mathbf{x})) = \mathbb{E}_{q(\mathbf{z})} [\log q(\mathbf{z})] - \mathbb{E}_{q(\mathbf{z})} [\log p(\mathbf{x}, \mathbf{z})] + \log p(\mathbf{x})$$

重新排列这个方程，我们得到一个重要的关系：

$$\log p(\mathbf{x}) = \underbrace{\mathbb{E}_{q(\mathbf{z})} [\log p(\mathbf{x}, \mathbf{z})] - \mathbb{E}_{q(\mathbf{z})} [\log q(\mathbf{z})]}_{\mathcal{L}(q)} + KL(q(\mathbf{z}) || p(\mathbf{z}|\mathbf{x}))$$

标记为$\mathcal{L}(q)$的项被称为证据下界（ELBO）。由于KL散度总是非负的（$KL(q || p) \ge 0$），这个方程说明ELBO总是小于或等于模型证据的对数：

$$\log p(\mathbf{x}) \ge \mathcal{L}(q)$$

这种关系是变分推断的根本。

将ELBO最大化作为推断策略

考虑方程$\log p(\mathbf{x}) = \mathcal{L}(q) + KL(q(\mathbf{z}) || p(\mathbf{z}|\mathbf{x}))。左侧的$\log p(\mathbf{x})$是我们模型在给定数据下的对数证据。对于一个固定的模型和数据集，这个值是常数，与我们选择的$q(\mathbf{z})$无关。因此，关于$q(\mathbf{z})$最大化ELBO$\mathcal{L}(q)$，必然等同于最小化KL散度$KL(q(\mathbf{z}) || p(\mathbf{z}|\mathbf{x}))$。

重要的一点是，ELBO，$\mathcal{L}(q) = \mathbb{E}_{q(\mathbf{z})} [\log p(\mathbf{x}, \mathbf{z})] - \mathbb{E}_{q(\mathbf{z})} [\log q(\mathbf{z})]$，不直接依赖于难以处理的证据$p(\mathbf{x})$或真实后验分布$p(\mathbf{z}|\mathbf{x})$。它只依赖于联合分布$p(\mathbf{x}, \mathbf{z})$（通常由我们的模型规范定义）以及我们的近似分布$q(\mathbf{z})$。

这将推断问题转换为一个优化问题：即在选定的分布族$\mathcal{Q}$中找到使ELBO最大化的分布$q^*(\mathbf{z})$。所得的$q^*(\mathbf{z})$即作为真实后验分布$p(\mathbf{z}|\mathbf{x})$的近似。

变分推断在易于处理的分布族$\mathcal{Q}$中寻找使证据下界（ELBO）最大化的分布$q^*(\mathbf{z})$。这种最大化等同于最小化$q^*(\mathbf{z})$与真实后验分布$p(\mathbf{z}|\mathbf{x})$之间的KL散度。

当前实际的难点在于：

1. 选择一个适当的分布族$\mathcal{Q}$，使其兼顾易处理性和灵活性。
2. 研发执行所需优化以最大化$\mathcal{L}(q)$的算法。

以下章节将研究$\mathcal{Q}$的常见选择，例如平均场近似，并介绍旨在高效最大化ELBO的算法，如坐标上升变分推断（CAVI）和随机变分推断（SVI）。