Metropolis-Hastings 算法变体

标准的 Metropolis-Hastings (MH) 算法提供了一个通用框架，用于在能够评估与其成比例的函数（例如似然与先验的乘积 $p(D|\theta)p(\theta)$）时，从目标分布（通常是后验 $p(\theta | D)$）中进行采样。其基本思路是，从一个提议分布 $q(\theta' | \theta^{(t)})$ 中提议一个新状态 $\theta'$，并以如下概率接受它：

$$\alpha(\theta', \theta^{(t)}) = \min \left( 1, \frac{p(\theta' | D) q(\theta^{(t)} | \theta')}{p(\theta^{(t)} | D) q(\theta' | \theta^{(t)})} \right)$$

如果接受，则 $\theta^{(t+1)} = \theta'$。否则，$\theta^{(t+1)} = \theta^{(t)}$。尽管强大，但基本 MH 算法的效率和效用很大程度上取决于提议分布 $q$ 的选择。这导致出现了几种变体，旨在不同情境下提升性能。

随机游走 Metropolis (RWM)

随机游走 Metropolis 算法也许是最简单和最常用的变体。它使用对称提议分布，意思是，从 $\theta$ 开始提议 $\theta'$ 的概率与从 $\theta'$ 开始提议 $\theta$ 的概率相同。形式上， $q(\theta' | \theta) = q(\theta | \theta')$。

一个典型选择是以当前状态为中心的高斯分布：

$$\theta' \sim \mathcal{N}(\theta^{(t)}, \Sigma)$$

其中 $\Sigma$ 是一个协方差矩阵，通常是对角的，例如 $\sigma^2 I$。由于提议是对称的，提议项在接受率中抵消：

$$q(\theta^{(t)} | \theta') = q(\theta' | \theta^{(t)})$$

这将接受概率简化为：

$$\alpha(\theta', \theta^{(t)}) = \min \left( 1, \frac{p(\theta' | D)}{p(\theta^{(t)} | D)} \right)$$

这是原始的 Metropolis 算法（在 Hastings 泛化之前）。

优点：

• 易于实现。
• 在提议尺度（例如 $\sigma^2$）上无需复杂调整。

缺点：

• 如果目标分布具有复杂的相关性或维度间的尺度变化，则效率不高。随机游走行为可能导致参数 (parameter)空间的缓慢遍历。
• 性能对提议尺度的选择（$\sigma^2$ 或 $\Sigma$）非常敏感。

提议尺度的调整： 为随机游走选择合适的尺度很重要。

• 太小： 大多数提议会被接受，但链移动非常慢，在空间中移动效率不高，导致样本之间的高度自相关。
• 太大： 许多提议会落入低概率区域并被拒绝。链会卡住，再次导致混合不佳。

对于高维问题，最佳接受率经验上通常约为 0.234，对于一维问题约为 0.44，不过这只是一个指导原则，而非严格规定。调整通常涉及运行试点模拟，并调整提议尺度以达到合理的接受率。

随机游走 Metropolis 路径的图示。小步长导致缓慢遍历，大步长导致频繁拒绝（停留在同一位置，由重叠标记 (token)指示），而调整得当的步长则平衡了接受和移动。

独立 Metropolis-Hastings

在此变体中，提议的状态 $\theta'$ 是从一个不依赖于当前状态 $\theta^{(t)}$ 的分布 $q(\theta')$ 中抽取的。

$$\theta' \sim q(\theta')$$

这意味着 $q(\theta' | \theta^{(t)}) = q(\theta')$。接受概率使用完整的 Hastings 比率，因为提议通常不对称：

$$\alpha(\theta', \theta^{(t)}) = \min \left( 1, \frac{p(\theta' | D) q(\theta^{(t)})}{p(\theta^{(t)} | D) q(\theta')} \right)$$

要求： 为了使此方法良好运行，提议分布 $q(\theta')$ 理想情况下应是目标后验 $p(\theta | D)$ 的良好近似。常见选择包括多元高斯分布或学生 t 分布，它们可以拟合后验众数（通过优化得到）或基于初始近似（如拉普拉斯近似）。

优点：

• 如果 $q(\theta')$ 是 $p(\theta | D)$ 的良好近似，采样器可以在参数 (parameter)空间中进行大步跳跃，可能导致比 RWM 快得多的混合。
• 如果后验的合理近似可用，则可能有效。

缺点：

• 寻找一个好的提议分布 $q(\theta')$ 可能具有挑战性。
• 如果 $q(\theta')$ 是不好的近似，特别是如果其尾部比目标后验 $p(\theta | D)$ 轻，采样器可能很少在状态空间的重要区域接受提议，导致非常差的性能。必须满足 $p(\theta|D) > 0 \implies q(\theta) > 0$ 的要求。
• 如果 $q$ 与 $p$ 不相似，接受率可能非常低。

Metropolis-调整朗之万算法 (MALA)

MALA 结合了来自目标分布的梯度信息，以更智能地提议移动，将样本推向更高概率的区域。这在高维空间 (high-dimensional space)中特别有用，因为随机游走效率不高。

提议机制基于朗之万动力学，它涉及一个基于对数后验梯度的漂移项和一个随机噪声项。离散时间近似导致了以下提议：

$$\theta' \sim \mathcal{N}\left( \theta^{(t)} + \frac{\epsilon^2}{2} \nabla \log p(\theta^{(t)} | D), \epsilon^2 I \right)$$

这里，$\epsilon$ 是一个步长参数 (parameter)，$\nabla \log p(\theta | D)$ 是对数目标密度（对数似然 + 对数先验）的梯度。此提议将 $\theta'$ “向上”推向更高密度的区域。

因为提议依赖于当前点 $\theta^{(t)}$ 处的梯度，所以它不对称。提议密度为：

$$q(\theta' | \theta^{(t)}) = \mathcal{N}\left(\theta' \mid \mu(\theta^{(t)}), \epsilon^2 I\right)$$

其中 $\mu(\theta^{(t)}) = \theta^{(t)} + \frac{\epsilon^2}{2} \nabla \log p(\theta^{(t)} | D)$。必须使用完整的 Hastings 接受率：

$$\alpha(\theta', \theta^{(t)}) = \min \left( 1, \frac{p(\theta' | D) q(\theta^{(t)} | \theta')}{p(\theta^{(t)} | D) q(\theta' | \theta^{(t)})} \right)$$

优点：

• 通过使用梯度信息，它考察参数空间的效率通常比 RWM 高得多，特别是在更高维度。
• 比简单的随机游走更好地处理复杂的后验几何结构。

缺点：

• 需要计算梯度 $\nabla \log p(\theta | D)$，这对于所有模型来说可能无法解析获得或在计算上不可行。自动微分工具可以在这方面提供帮助。
• 需要调整步长 $\epsilon$。类似于 RWM，$\epsilon$ 需要在良好接受率和遍历之间取得平衡。MALA 的最佳接受率通常建议约为 0.574。
• 如果 $\epsilon$ 过大，离散时间近似仍然可能导致效率不高。

MALA 为哈密顿蒙特卡洛 (HMC) 搭建了桥梁，HMC 通过引入辅助动量变量和模拟哈密顿动力学，更有效地使用梯度信息。

其他变体

• 自适应 MCMC： 这些算法在模拟期间自动调整提议参数 (parameter)（例如 RWM 中的协方差矩阵 $\Sigma$ 或 MALA 中的步长 $\epsilon$），通常在初始的“预热”或“热身”阶段进行。尽管强大，但必须小心确保适应性随时间停止或减弱，以保持马尔可夫链的正确平稳分布保证。
• 分量式 Metropolis-Hastings： 不是一次性更新所有参数 $\theta = (\theta_1, ..., \theta_d)$，而是一次更新一个参数或一组参数，以其他参数的当前值为条件。这与 Gibbs 采样密切相关，后者将在下一节中讨论。

选择合适的 Metropolis-Hastings 变体涉及在实现复杂性、计算成本（尤其是梯度）、调整工作量和针对特定问题结构的采样效率之间进行权衡。对于复杂、高维的后验，结合梯度信息的方法，例如 MALA（以及后来的 HMC/NUTS），通常比基本的随机游走 Metropolis 明显更有效。