CAI反馈的数学表述

宪法AI（CAI）反馈流程的规范化表述侧重于其监督学习 (supervised learning)（SL）阶段。此阶段旨在通过教导LLM模仿其自身输出的章程化修订版本，从而改进LLM的表现。这些修订版本是通过AI驱动的批改和修订循环生成的。

令$M_{\theta}$表示以$\theta$为参数 (parameter)的基础大型语言模型。给定一个输入提示$x$，模型生成一个初始回应$y_{init}$： $y_{init} \sim P(y | x; \theta)$ 此表示法说明，$y_{init}$是从模型$M_{\theta}$根据输入$x$定义的序列$y$的概率分布中取样得到的。

CAI SL阶段的核心在于根据预定义的章程$C$生成一个更理想的回应$y_{revised}$。这通常分两步完成：

1. 批改生成： 一个AI系统（通常是同一个LLM $M_{\theta}$被恰当提示，或是一个专门的批改模型$M_{critique}$）在提示$x$和章程$C$的背景下分析初始回应$y_{init}$。它识别$y_{init}$中可能违反$C$中原则的方面，并生成批改$c$。我们可以用函数形式表示此流程： $c = \text{批改}(x, y_{init}, C)$ 此批改可能是对缺陷的文字说明，或是一条具体的改进指令。

2. 修订生成： 另一个AI系统（可能是再次使用$M_{\theta}$，或是一个专门的修订模型$M_{revise}$）将原始提示$x$、初始回应$y_{init}$、批改$c$和章程$C$作为输入。然后它生成一个修订后的回应$y_{revised}$，此回应既处理了批改，又符合$C$。 $y_{revised} = \text{修订}(x, y_{init}, c, C)$ 类似于初始回应生成，批改和修订步骤可以从概率角度看待，涉及从以各自输入为条件的分布中取样。

下图呈现了针对单个训练实例的数据生成流程：

宪法AI中生成单个监督微调 (fine-tuning)示例的数据流程。该流程使用基于章程的AI生成批改和修订，以优化LLM的初始回应。

整个流程对大量多样化提示数据集\ {x_i\}重复进行，以生成一个符合章程的输入-输出对数据集： $D_{CAI} = \{ (x_i, y_{revised, i}) \}_{i=1}^N$

CAI SL阶段的主要目的是使用此数据集$D_{CAI}$训练一个新模型$M_{aligned}$（通常从$M_{\theta}$初始化）。训练目标通常是标准监督微调（SFT），即最小化给定提示下修订回应的负对数似然： $L_{SFT}(\theta_{aligned}) = - \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \log P(y_{revised, i} | x_i; \theta_{aligned})$ 这里，$\theta_{aligned}$表示正在微调模型的参数。通过最小化此损失，模型$M_{aligned}$学习直接生成类似于修订后、符合章程的回应，在推理 (inference)时无需显式批改和修订步骤。

需认识到，此表述简化了一个潜在的复杂流程。批改和修订步骤本身可能涉及多次LLM调用、特定提示策略以及采样程序（例如，使用温度缩放），以生成多样且有效的反馈。

此外，虽然此阶段的主要输出是用于SFT的数据集$D_{CAI}$，但生成的数据有时可以被重新利用。例如，对于给定的提示$x_i$，对$(y_{revised, i}, y_{init, i})$隐式定义了一种偏好：根据章程，$y_{revised}$优于$y_{init}$。此偏好数据可能用于训练奖励模型，以供后续强化学习 (reinforcement learning)阶段使用（如在RLAIF中考察的那样，本课程后续讨论），尽管原始CAI框架侧重于使用修订后输出的直接SFT步骤。

这种数学框架强调了CAI如何将高层原则（章程）转化为适合标准机器学习 (machine learning)优化技术（$L_{SFT}$）的具体训练数据（$D_{CAI}$），从而引导LLM的表现，而无需对每个具体交互进行人工标注。其有效性取决于章程的质量以及AI系统根据其生成有意义批改和修订的能力。