因果图中循环和反馈的处理

有向无环图（DAG）为表示因果假设提供了一个强大的框架。尽管具有实用性，但其“无环”约束是一个重要局限。许多系统，特别是生物学、经济学、工程学和社会科学方面的系统，都具有反馈循环，变量可以通过一系列其他变量间接影响自身。忽略这些循环可能导致不正确的因果推断和有缺陷的模型预测。

理解因果系统中的循环

考虑一个简单的经济情景：消费者 需求 增加可能促使公司提高 价格，但更高的 价格 随后可能抑制 需求。简单地 描绘 这一点可能 显示 一个循环：

一个简单的有向图， 描绘 需求与价格之间可能的反馈循环。

这种表示方法，即循环有向图（CDG），立即引起了疑问。基于非递归结构方程的标准DAG语义失效。如果“需求”也受“价格”影响，而“价格”本身又依赖于“需求”，我们如何 解释 干预，例如 $do(Demand=d)$？干预是否会切断来自“价格”的传入边，还是系统会达到新的平衡？

同时性问题

核心问题通常在于 表达 潜在的同时影响。如果“需求 -> 价格 -> 需求”循环发生得 非常 快，在相同的时间观测窗口内，它 显得 是循环的。然而，真正的同时因果关系在物理上存在问题，并且 常 掩盖 一个 潜在的时间过程。

例如，经济反馈循环可能随着时间展开：

1. 需求(t) 影响 价格(t) （或可能是 价格(t+1)）。
2. 价格(t) （或 价格(t+1)） 影响 需求(t+1)。

明确 表达 这一点需要 纳入 时间。

时间展开：用时间 处理 循环

一种常见且通常 有效 的方法是随时间“展开”循环，创建 一个 DAG，其中节点 代表 特定时间点的变量。这 会将 CDG 转变为 离散时间步上的动态贝叶斯网络（DBN）结构。

让我们在两个时间步上展开“需求-价格”的例子：

一个 按 时间展开的图（简化DBN）， 处理 需求-价格循环的两个时间步。虚线 表示 潜在的自回归效应。

现在我们有了一个DAG。反馈循环被 表现为 跨时间切片的有向路径（例如，$Demand_t \rightarrow Price_t \rightarrow Demand_{t+1}$）。标准 的 识别 方法，如后门准则或do-calculus，可能适用于这个展开的图，尽管它通常会 引入 时变混杂。例如， 估计 $Price_t$ 对 $Demand_{t+1}$ 的影响需要 以 $Demand_t$ （以及时间 $t$ 时 其他相关变量） 为 条件。

均衡结构因果模型

在某些情况下，尤其是在计量经济学或物理系统 中，研究人员使用SCM内的联立方程直接 建立 循环系统的 均衡 状态 模型。例如，线性循环SCM可能 像 这样：

$$\begin{align*} X &= \alpha Y + U_X \\ Y &= \beta X + U_Y \end{align*}$$

这里，$X$ 引起 $Y$，而 $Y$ 引起 $X$。假设系统 达到 稳定状态，我们可以在 $1 - \alpha\beta \neq 0$ 的条件下，根据外生噪声 $U_X$ 和 $U_Y$ 求解 $X$ 和 $Y$。

$$\begin{align*} X &= \frac{1}{1 - \alpha\beta} (U_X + \alpha U_Y) \\ Y &= \frac{1}{1 - \alpha\beta} (\beta U_X + U_Y) \end{align*}$$

在此类均衡模型中，因果效应的识别（例如，干预 $X$ 的效应） 在很大程度上取决于 所假设的函数形式（通常是线性的）和噪声项的分布 特征。Do-calculus 的 应用需要 仔细思考 干预在均衡 背景 中的 意义。通常，干预被视为操纵噪声项或某个特定方程，同时保持其他方程不变。

循环与识别算法

基于do-calculus的标准识别算法假设DAG。当 简单地 应用于带有循环的图时，它们可能会失败或产生不正确的结果。然而，一些方法可以 应对 循环：

1. 时间展开： 如前所述，这是最常见的 处理方法，它将问题 转变 为随时间变化的DAG 结构。这 要求 具有足够细粒度的时间数据。
2. 基于约束的发现（例如，FCI）： 快速因果推断（FCI）算法（在第2章 中 涉及）等算法 旨在 在较弱的假设下工作， 允许 存在潜在混杂因素和循环。它们通常 生成 部分祖先图（PAG），这些图 代表 一类与观测到的条件独立性兼容的DAG（或有时是CDG）。虽然FCI没有明确建模循环动态，但其 结果 确认 了可能源于循环或隐藏混杂的 不确定性。
3. 专门的均衡模型方法： 线性循环模型中的识别有时 使用 与工具变量或非高斯噪声分布的特定 特征 相关的方法（ 可见 于LiNGAM 扩展 中，第2章 中 讨论）。

实用 要点

当遇到潜在的反馈循环时：

• 质疑同时性： 循环是真的瞬时发生，还是 反映 了在与您的数据收集频率相关的 时间尺度 上展开的过程？

• 收集时间数据： 如果可能，以更高的时间分辨率收集数据可以 通过 显式建模时间滞后来 解决 循环。

• 采用 合适 的表示 方式： 如果建模均衡，请明确 说明 所涉及的强假设。如果建模动态，请使用DBN或相关的时间序列模型。

• 运用 学科 知识： 了解 基础机制（例如，生物学通路、经济学原理） 对于 正确 确定 模型结构，包括反馈循环和时间依赖性， 非常重要。

处理循环需要超越基本的DAG假设。虽然时间展开是一个 强大 的工具，但 理解 均衡模型和 更高级 发现算法的 能力 为 分析 具有反馈的系统提供了更 全面 的 方法。第5章 中 详细 讨论 的时间序列数据 方法 对于 严谨 处理 这些动态因果结构 特别有用。