因果图中循环和反馈的处理

有向无环图（DAG）为表示因果假设提供了一个强大的框架。尽管具有实用性，但其“无环”约束是一个重要局限。许多系统，特别是生物学、经济学、工程学和社会科学方面的系统，都具有反馈循环，变量可以通过一系列其他变量间接影响自身。忽略这些循环可能导致不正确的因果推断和有缺陷的模型预测。

理解因果系统中的循环

考虑一个简单的经济情景：消费者 需求 增加可能促使公司提高 价格，但更高的 价格 随后可能抑制 需求。简单地 描绘 这一点可能 显示 一个循环：

一个简单的有向图， 描绘 需求与价格之间可能的反馈循环。

这种表示方法，即循环有向图（CDG），立即引起了疑问。基于非递归结构方程的标准DAG语义失效。如果“需求”也受“价格”影响，而“价格”本身又依赖于“需求”，我们如何 解释 干预，例如 $do(Demand=d)$ ？干预是否会切断来自“价格”的传入边，还是系统会达到新的平衡？

同时性问题

核心问题通常在于 表达 潜在的同时影响。如果“需求 -> 价格 -> 需求”循环发生得 非常 快，在相同的时间观测窗口内，它 显得 是循环的。然而，真正的同时因果关系在物理上存在问题，并且 常 掩盖 一个 潜在的时间过程。

例如，经济反馈循环可能随着时间展开：

需求(t) 影响 价格(t) （或可能是 价格(t+1)）。
价格(t) （或 价格(t+1)）影响 需求(t+1)。

明确 表达 这一点需要 纳入 时间。

时间展开：用时间 `处理` 循环

一种常见且通常 有效 的方法是随时间“展开”循环，创建 一个 DAG，其中节点 代表 特定时间点的变量。这 会将 CDG 转变为 离散时间步上的动态贝叶斯网络（DBN）结构。

让我们在两个时间步上展开“需求-价格”的例子：

一个 按 时间展开的图（简化DBN）， 处理 需求-价格循环的两个时间步。虚线 表示 潜在的自回归 (autoregressive)效应。

现在我们有了一个DAG。反馈循环被 表现为 跨时间切片的有向路径（例如， $Demand_t \rightarrow Price_t \rightarrow Demand_{t+1}$ ）。标准 的 识别 方法，如后门准则或do-calculus，可能适用于这个展开的图，尽管它通常会 引入 时变混杂。例如， 估计 $Price_t$ 对 $Demand_{t+1}$ 的影响需要 以 $Demand_t$ （以及时间 $t$ 时 其他相关变量） 为 条件。

均衡结构因果模型

在某些情况下，尤其是在计量经济学或物理系统 中，研究人员使用SCM内的联立方程直接 建立 循环系统的 均衡 状态 模型。例如，线性循环SCM可能 像 这样：

\begin{align*} X &= \alpha Y + U_X \\ Y &= \beta X + U_Y \end{align*}

这里， $X$ 引起 $Y$ ，而 $Y$ 引起 $X$ 。假设系统 达到 稳定状态，我们可以在 $1 - \alpha\beta \neq 0$ 的条件下，根据外生噪声 $U_X$ 和 $U_Y$ 求解 $X$ 和 $Y$ 。

\begin{align*} X &= \frac{1}{1 - \alpha\beta} (U_X + \alpha U_Y) \\ Y &= \frac{1}{1 - \alpha\beta} (\beta U_X + U_Y) \end{align*}

在此类均衡模型中，因果效应的识别（例如，干预 $X$ 的效应） 在很大程度上取决于 所假设的函数形式（通常是线性的）和噪声项的分布 特征。Do-calculus 的 应用需要 仔细思考 干预在均衡 背景 中的 意义。通常，干预被视为操纵噪声项或某个特定方程，同时保持其他方程不变。

循环与识别算法

基于do-calculus的标准识别算法假设DAG。当 简单地 应用于带有循环的图时，它们可能会失败或产生不正确的结果。然而，一些方法可以 应对 循环：

时间展开： 如前所述，这是最常见的 处理方法，它将问题 转变 为随时间变化的DAG 结构。这 要求 具有足够细粒度的时间数据。
基于约束的发现（例如，FCI）： 快速因果推断（FCI）算法（在第2章 中 涉及）等算法 旨在 在较弱的假设下工作， 允许 存在潜在混杂因素和循环。它们通常 生成 部分祖先图（PAG），这些图 代表 一类与观测到的条件独立性兼容的DAG（或有时是CDG）。虽然FCI没有明确建模循环动态，但其 结果 确认 了可能源于循环或隐藏混杂的 不确定性。
专门的均衡模型方法： 线性循环模型中的识别有时 使用 与工具变量或非高斯噪声分布的特定 特征 相关的方法（ 可见 于LiNGAM 扩展 中，第2章 中 讨论）。

实用 `要点`

当遇到潜在的反馈循环时：

质疑同时性： 循环是真的瞬时发生，还是 反映 了在与您的数据收集频率相关的 时间尺度 上展开的过程？
收集时间数据： 如果可能，以更高的时间分辨率收集数据可以 通过 显式建模时间滞后来 解决 循环。
采用 合适 的表示 方式： 如果建模均衡，请明确 说明 所涉及的强假设。如果建模动态，请使用DBN或相关的时间序列模型。
运用 学科 知识： 了解 基础机制（例如，生物学通路、经济学原理） 对于 正确 确定 模型结构，包括反馈循环和时间依赖性， 非常重要。

处理循环需要超越基本的DAG假设。虽然时间展开是一个 强大 的工具，但 理解 均衡模型和 更高级 发现算法的 能力 为 分析 具有反馈的系统提供了更 全面 的 方法。第5章 中 详细 讨论 的时间序列数据 方法 对于 严谨 处理 这些动态因果结构 特别有用。

这部分内容有帮助吗？

参考文献

Causality: Models, Reasoning and Inference, Judea Pearl, 2009 (Cambridge University Press) - 重要的因果推断著作，涵盖SCM的理论基础、干预和识别，并专门讨论联立方程和反馈系统。
Causation, Prediction, and Search, Peter L. Spirtes, Clark N. Glymour, Richard Scheines, 2000 (MIT Press) DOI: 10.7551/mitpress/1754.001.0001 - 因果发现算法的基础性著作，包括PC和FCI算法，能够在存在潜在变量和反馈的情况下识别因果关系。
Causal inference in time series analysis, Michael Eichler, 2012 The Oxford Handbook of Causality (Oxford University Press) DOI: 10.1093/oxfordhb/9780199607871.013.0031 - 专门针对时间序列数据应用因果推断方法的章节，通过时间模型处理动态因果关系和反馈循环的方法。
Causal effects in cyclic models, Antti Hyttinen, Juha Karvanen, Kaisa Lauri, 2016 Proceedings of the 32nd Conference on Uncertainty in Artificial Intelligence (UAI), Vol. 49 (Proceedings of Machine Learning Research) DOI: 10.48550/arXiv.1606.01257 - 一篇直接研究循环结构因果模型中因果效应定义和识别的论文，提供了在具有反馈的系统中解释干预的方法。