示例：简单线性回归模型

好的，我们来运用微积分工具。我们已经讨论了如何使用导数求最小值和最大值，以及梯度下降的思路。现在，我们将这些思路应用于一个基本的机器学习模型：简单线性回归。

简单线性回归的目标是找到一条最佳直线，来描述单个输入特征与目标输出之间的关系。想象一下，你有一些数据点绘制在图表上。线性回归试图在这些点中画一条尽可能拟合的直线。

模型方程

直线的方程可能对你来说不陌生：

$$y = mx + b$$

让我们在机器学习的背景下分析这些组成部分：

• $x$: 这是我们的输入特征。它是我们已知的信息，也称作自变量。例如，$x$ 可以是房屋的平方英尺。
• $y$: 这是我们想要预测的目标变量，也称作因变量。例如，$y$ 可以是房屋的售价。
• $m$: 这是直线的斜率。它决定了当 $x$ 增加一个单位时，$y$ 变化多少。在我们的房屋示例中，它表示每增加一平方英尺，价格会增加多少。
• $b$: 这是直线的y截距。它是当 $x$ 为零时 $y$ 的值。在某些情况下，这可能代表一个基准值（例如，不考虑大小的房屋基本价格，尽管这种解释并非总是有意义，具体取决于上下文）。

在机器学习术语中，$m$ 和 $b$ 是我们模型的参数（有时也称作权重或系数）。我们训练时的目标是找到 $m$ 和 $b$ 的最优值，使我们的直线最能拟合数据。

目标的可视化

考虑一个表示学习时间 ($x$) 与考试分数 ($y$) 之间关系的小数据集。

蓝色点表示我们的数据。绿色虚线似乎很好地捕捉了趋势，而红色虚线显然拟合得很差。线性回归旨在找到能够产生最佳拟合（如绿线或更好）的直线参数（$m$ 和 $b$）。

寻找“最佳拟合”线的过程是一个监督学习任务。我们得到示例对 $(x, y)$（学习时间，考试分数），并且我们希望机器学习算法学习它们之间的关系，这种关系由参数 $m$ 和 $b$ 表示。一旦学习完成，我们就可以使用模型 $y = mx + b$ 来预测新的学习时间下的考试分数。

核心思路是我们可以衡量特定直线（由 $m$ 和 $b$ 的特定值定义）对数据的拟合程度。如果我们可以衡量这种“拟合优度”（或者反过来，衡量“拟合差度”或误差），那么我们就可以使用微积分，特别是梯度下降，系统地调整 $m$ 和 $b$，使直线越来越好地拟合数据。

这种“拟合度量”就是我们所说的成本函数，我们将在下一节中定义它。请记住，对于我们的优化算法，$m$ 和 $b$ 是我们将要调整的变量，以使此成本最小化。