多变量函数

像 $f(x) = x^2$ 或 $f(x) = 3x + 5$ 这样的函数是单变量函数：它们接受一个输入 ($x$) 并产生一个输出。你可以轻松地将它们想象成2D图上的曲线，显示当单个输入变化时输出如何变化。

"然而，许多情况，尤其是在机器学习 (machine learning)中，涉及不止一个影响因素。想想预测房屋价格。它仅仅基于其平方英尺大小吗？可能不是。你可能还会考虑卧室数量、房屋年龄或社区的质量评分。每一个都是一个独立的输入变量。"

同样，当我们训练机器学习模型时，例如我们稍后会看到的简单线性回归模型 $y = mx + b$，我们需要找到 $m$（斜率）和 $b$（截距）的最佳值。模型的表现，通常通过“成本”或“误差”函数来衡量，取决于为 $m$ 和 $b$ 选择的特定值。

这就引出了多变量函数。不仅仅是 $f(x)$，我们现在处理的函数类型有：

• $f(x, y)$，它接受两个输入，$x$ 和 $y$。
• $f(x_1, x_2, x_3)$，它接受三个输入。
• 通常来说，$f(x_1, x_2, \dots, x_n)$，它接受 $n$ 个输入。

所有这些函数仍然产生一个单一的输出值。输出取决于所有提供输入值的具体组合。

定义多变量函数

多变量函数将一组输入值映射到一个单一的输出值。我们可以将其写为 $z = f(x, y)$（用于两个变量）或 $y_{output} = f(x_1, x_2, \dots, x_n)$（用于 $n$ 个变量）。在这里，$x_1, x_2, \dots, x_n$ 被称为自变量，而产生的输出（$z$ 或 $y_{output}$）是因变量。

让我们看一个简单例子：

$$f(x, y) = x^2 + y^2$$

这个函数接受两个输入，$x$ 和 $y$。为了得到输出，我们将每个输入平方然后将结果相加。

• 如果 $x=1$ 且 $y=2$，那么 $f(1, 2) = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$。
• 如果 $x=3$ 且 $y=-1$，那么 $f(3, -1) = 3^2 + (-1)^2 = 9 + 1 = 10$。

另一个例子，可能更接近你在模型误差方面可能看到的情况：

$$g(w, b) = (w \cdot 5 + b - 12)^2$$

在这里，函数 $g$ 取决于两个输入，$w$ 和 $b$。如果 $w=2$ 且 $b=3$，那么：

$$g(2, 3) = (2 \cdot 5 + 3 - 12)^2 = (10 + 3 - 12)^2 = (1)^2 = 1$$

在机器学习 (machine learning)中，$w$ 和 $b$ 可能表示一个简单模型的权重 (weight)或参数 (parameter)，值 $5$ 可能是一个来自我们数据的输入特征，而 $12$ 可能是真实的目标值。函数 $g(w, b)$ 可以表示该单个数据点的平方误差。训练模型的目标是找到使该误差（以及所有数据点的误差）尽可能小的 $w$ 和 $b$ 值。

可视化多变量函数

我们看到，单变量函数 $f(x)$ 可以被可视化为2D曲线。那么像 $z = f(x, y)$ 这样的双变量函数呢？

由于我们有两个输入（$x$, $y$）和一个输出（$z$），我们需要三个维度来绘制函数。我们可以想象一个 $xy$ 平面表示可能的输入组合，以及一个垂直的 $z$ 轴表示输出。对于输入平面中的每个点 $(x, y)$，函数 $f(x, y)$ 给出高度 $z$。绘制这些点 $(x, y, z)$ 通常会在3D空间中形成一个曲面。

考虑我们的例子 $f(x, y) = x^2 + y^2$。这个函数描述了一个碗状，称为抛物面，开口向上。它的最低点在 $(x, y) = (0, 0)$，此时 $f(0, 0) = 0$。

$z = x^2 + y^2$ 的曲面图。输入 $x$ 和 $y$ 构成基平面，高度 $z$ 表示函数的输出。值得注意的是，最小值出现在原点 (0, 0)。

输入多于两个的函数呢？ 可视化 $f(x_1, x_2, x_3)$ 需要4个维度（3个用于输入，1个用于输出），而 $f(x_1, \dots, x_n)$ 将需要 $n+1$ 个维度。我们的大脑无法直接可视化超过三个维度的空间！

然而，我们发展的数学思想在更高维度中也能正常运用。即使我们无法绘制一个依赖于数千个模型参数 (parameter)的成本函数图，我们仍然可以分析调整这些参数时成本如何变化。

这为何重要

了解多变量函数非常重要，因为大多数机器学习 (machine learning)模型具有多个可调整参数 (parameter)（如神经网络 (neural network)中的权重 (weight)和偏差），并且通常处理具有多个特征的输入数据。因此，衡量模型表现的成本函数自然是许多变量（即参数）的函数。

训练中我们的目标通常是使这个成本函数最小化。由于成本取决于多个参数，我们需要一种方法来弄清楚改变每个单独参数如何影响成本。这正是偏导数这一方法开始起作用的地方，我们接下来会研究它。它使我们能够一次检查相对于一个变量的变化率，即使函数依赖于许多其他变量。