变化率：平均变化率与瞬时变化率

在上一章中，我们将函数看作是将输入映射到输出的方法，并研究了极限以明白函数在特定点附近的行为。现在，我们将把重心放在函数输出如何随输入的变化而变化上。想想开车的情形：你的位置随时间变化。有时你会加速，有时你会减速。微积分提供了精确描述这些变化的工具。

我们通常用率来描述变化。例如，速度是距离相对于时间的变化率。但衡量这种率有不同的方法。

平均变化率：整体情况

想象你在一次公路旅行中。你下午1:00从里程标10英里处出发，下午3:00到达里程标130英里处。你的平均速度是多少？

你行驶的距离是 $130 - 10 = 120$ 英里。 所用时间是下午 $3:00 -$ 下午 $1:00 = 2$ 小时。

你的平均速度是：

$$\text{平均速度} = \frac{\text{总距离}}{\text{总时间}} = \frac{120 \text{ 英里}}{2 \text{ 小时}} = 60 \text{ 英里每小时}$$

这是你在这2小时内位置的平均变化率。它让你大致了解旅行中位置变化的快慢，但它并没有告诉你是否一直以精确的60英里每小时的速度行驶。你可能停下来加油，或者在开阔的高速公路上加速了。

从数学上看，如果我们有一个函数 $f(x)$，在两个点（比如 $x_1$ 和 $x_2$）之间的平均变化率，是函数输出（$y$ 值）的变化量除以输入（$x$ 值）的变化量。我们常用希腊字母德尔塔 ($\Delta$) 来表示“变化量”。因此，$\Delta y$ 表示 $y$ 的变化量，$\Delta x$ 表示 $x$ 的变化量。

公式是：

$$\text{平均变化率} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$$

从几何上看，这个公式计算的是函数图像上连接 $(x_1, f(x_1))$ 和 $(x_2, f(x_2))$ 这两点的直线的斜率。这条线被称为割线。

我们来看一个简单函数，$f(x) = x^2$。在 $x_1 = 1$ 和 $x_2 = 3$ 之间的平均变化率是多少？

首先，找出对应的 $y$ 值： $f(1) = 1^2 = 1$ $f(3) = 3^2 = 9$

现在，应用公式：

$$\text{平均变化率} = \frac{f(3) - f(1)}{3 - 1} = \frac{9 - 1}{2} = \frac{8}{2} = 4$$

因此，平均而言，在 $x=1$ 到 $x=3$ 之间，函数 $f(x) = x^2$ 的 $y$ 值每当 $x$ 增加1个单位，就增加4个单位。

红线连接了函数 $f(x) = x^2$ 图像上的点 (1, 1) 和 (3, 9)。它的斜率表示 $x=1$ 和 $x=3$ 之间的平均变化率。

瞬时变化率：瞬时视角

平均变化率很有用，但通常我们需要知道某物在特定瞬间此刻变化的速度。如果你看汽车的速度计，它显示的是你精确的瞬时速度，而不是你过去一小时的平均速度。这就是瞬时变化率。

我们如何求出单一点（例如 $x = x_1$）的变化率？我们的平均变化率公式 $\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$ 遇到了问题。如果我们尝试通过让 $x_2$ 靠近 $x_1$ 来使间隔越来越小，最终 $x_2$ 将等于 $x_1$。这会使分母 $x_2 - x_1$ 变为零，而我们不能除以零。

这就是第一章中极限派上用场的地方。我们不将 $x_2$ 设为等于 $x_1$，而是问：当 $x_2$ 任意接近 $x_1$ 时，平均变化率会趋向什么值？

想想图像上的割线。当我们把点 $(x_2, f(x_2))$ 越来越近地移向 $(x_1, f(x_1))$ 时，割线会旋转。它在极限情况下趋近的线被称为点 $(x_1, f(x_1))$ 处的切线。这条切线在该单一点接触曲线，并表示曲线在该精确位置的方向。

这条切线的斜率就是函数在 $x = x_1$ 处的瞬时变化率。

当第二个点（橙色、黄色、绿色、青色标记）越来越靠近第一个点（x=1 处的红色标记）时，割线的斜率趋近于紫色切线的斜率。这条切线的斜率表示在 x=1 处的瞬时变化率。（点击“播放”观看动画。）

这种瞬时变化率正是我们所说的函数在某一点的导数。它告诉我们，函数输出对于其输入在该位置的微小变化有多敏感。

明白这种区别意义重大。在机器学习中，我们通常想知道模型参数（如神经网络中的权重）的微小变化将如何影响模型此刻的误差。我们通常不关心大幅调整带来的平均变化；我们希望了解瞬时变化，以指导我们如何进行下一次微小调整来改进模型。这需要掌握瞬时变化率，它直接引向后续章节中导数的定义和计算。