练习：计算简单导数

让我们将学到的法则应用到练习中。计算导数初看起来可能有些抽象，但就像学习任何新技能一样，多加练习会使其变得具体得多。我们将使用刚刚讲解过的法则：常数法则、幂法则和和法则。

理解导数的计算涉及以下概念和法则：

• 导数表示瞬时变化率，或者函数图线在任意给定点的斜率。
• 常数法则： 常数 $c$ 的导数是0。如果 $f(x) = c$，则 $f'(x) = 0$。
• 幂法则： $x^n$ 的导数是 $nx^{n-1}$。如果 $f(x) = ax^n$，则 $f'(x) = a \cdot nx^{n-1}$。
• 和法则： 项之和的导数是它们各自导数的和。如果 $f(x) = g(x) + h(x)$，则 $f'(x) = g'(x) + h'(x)。

让我们一起来做一些例子。

例子1：常数函数

求函数 $f(x) = 15$ 的导数。

• 确定法则： 这个函数是一个常数值。它不依赖于 $x$。所以，我们使用常数法则。
• 应用法则： 任何常数的导数都是0。
• 结果： $$f'(x) = 0$$
• 说明： $y = 15$ 的图线是一条水平线。它的斜率始终是0，这意味着当 $x$ 变化时，其值不变。

例子2：简单幂函数

设 $y = x^5$。求导数 $\frac{dy}{dx}$。

• 确定法则： 这属于 $x^n$ 的形式，其中 $n=5$。我们使用幂法则。
• 应用法则： 将指数（$n=5$）作为乘数移到前面，并将指数减1（$n-1 = 5-1 = 4$）。
• 结果： $$\frac{dy}{dx} = 5x^{5-1} = 5x^4$$
• 说明： $y = x^5$ 的图线斜率并非不变。它取决于 $x$ 的值。例如，在 $x=1$ 处，斜率为 $5(1)^4 = 5$。在 $x=2$ 处，斜率为 $5(2)^4 = 5 \times 16 = 80$。

例子3：带有系数的幂函数

求 $g(x) = 4x^3$ 的导数。

• 确定法则： 这是一个常数（$4$）乘以一个幂函数（$x^3$）。我们使用幂法则，并考虑常数在微分过程中可以“通过”这一事实。
• 应用法则： 保持常数 $4$。对 $x^3$ 应用幂法则（将3移到前面，指数减为2）。然后相乘。
• 结果： $$g'(x) = 4 \cdot (3x^{3-1}) = 4 \cdot (3x^2) = 12x^2$$

例子4：法则的结合——多项式

让我们求多项式函数 $h(x) = 2x^3 + 7x^2 - 5x + 1$ 的导数。

• 确定法则： 这个函数是若干项的和。我们使用和法则分别对每一项进行微分。每一项都包含常数和 $x$ 的幂，因此我们也会使用常数法则和幂法则。
• 应用法则（逐项）：
  • $2x^3$ 的导数：应用幂法则。 $2 \cdot (3x^{3-1}) = 6x^2$。
  • $7x^2$ 的导数：应用幂法则。 $7 \cdot (2x^{2-1}) = 14x^1 = 14x$。
  • $-5x$ 的导数：记住 $x$ 是 $x^1$。应用幂法则。 $-5 \cdot (1x^{1-1}) = -5 \cdot (1x^0) = -5 \cdot (1) = -5$。（回忆 $x^0 = 1$）。
  • $1$ 的导数：这是一个常数。应用常数法则。导数是 $0$。
• 组合结果（使用和法则）： 将每一项的导数相加。
• 结果： $$h'(x) = 6x^2 + 14x - 5 + 0 = 6x^2 + 14x - 5$$

例子5：带有分数指数的函数

求 $f(x) = 8\sqrt{x}$ 的导数。

• 重写函数： 首先，使用分数指数重写平方根会很有帮助。请记住 $\sqrt{x} = x^{1/2}$。所以，$f(x) = 8x^{1/2}$。
• 确定法则： 现在它看起来像一个常数乘以一个幂函数。我们使用幂法则，其中 $n = 1/2$。
• 应用法则： 保持常数 $8$。对 $x^{1/2}$ 应用幂法则。将指数 $1/2$ 移到前面，并从指数中减去1（$1/2 - 1 = -1/2$）。
• 结果： $$f'(x) = 8 \cdot (\frac{1}{2} x^{1/2 - 1}) = 8 \cdot (\frac{1}{2} x^{-1/2}) = 4x^{-1/2}$$
• 可选简化： 你也可以使用根式表示为：$4x^{-1/2} = \frac{4}{x^{1/2}} = \frac{4}{\sqrt{x}}$。$4x^{-1/2}$ 和 $\frac{4}{\sqrt{x}}$ 都是导数的正确表示形式。

自己动手尝试

现在轮到你了。使用我们讨论过的法则来求以下函数的导数。如果需要多试几次也没关系，目标是让你熟悉这些方法。

1. $f(x) = -50$
2. $y = x^{10}$
3. $g(t) = 6t^4 - 3t^2 + 9t$（用 $t$ 代替 $x$ 不会改变法则！）
4. $h(x) = \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + x$
5. $f(z) = z^2 - 7$

慢慢来，逐项计算。检查你是否正确应用了常数法则、幂法则和和法则。计算导数是一个基础运算，熟悉这些基本法则对我们后续学习优化将非常有帮助。