练习：计算简单导数

让我们将学到的法则应用到练习中。计算导数初看起来可能有些抽象，但就像学习任何新技能一样，多加练习会使其变得具体得多。我们将使用刚刚讲解过的法则：常数法则、幂法则和和法则。

理解导数的计算涉及以下概念和法则：

导数表示瞬时变化率，或者函数图线在任意给定点的斜率。
常数法则： 常数 $c$ 的导数是0。如果 $f(x) = c$ ，则 $f'(x) = 0$ 。
幂法则： $x^n$ 的导数是 $nx^{n-1}$ 。如果 $f(x) = ax^n$ ，则 $f'(x) = a \cdot nx^{n-1}$ 。
和法则： 项之和的导数是它们各自导数的和。如果 $f(x) = g(x) + h(x)$ ，则 $f'(x) = g'(x) + h'(x)。

让我们一起来做一些例子。

求函数 $f(x) = 15$ 的导数。

设 $y = x^5$ 。求导数 $\frac{dy}{dx}$ 。

确定法则： 这属于 $x^n$ 的形式，其中 $n=5$ 。我们使用幂法则。
应用法则： 将指数（ $n=5$ ）作为乘数移到前面，并将指数减1（ $n-1 = 5-1 = 4$ ）。
结果： $\frac{dy}{dx} = 5x^{5-1} = 5x^4$
说明： $y = x^5$ 的图线斜率并非不变。它取决于 $x$ 的值。例如，在 $x=1$ 处，斜率为 $5(1)^4 = 5$ 。在 $x=2$ 处，斜率为 $5(2)^4 = 5 \times 16 = 80$ 。

求 $g(x) = 4x^3$ 的导数。

让我们求多项式函数 $h(x) = 2x^3 + 7x^2 - 5x + 1$ 的导数。

确定法则： 这个函数是若干项的和。我们使用和法则分别对每一项进行微分。每一项都包含常数和 $x$ 的幂，因此我们也会使用常数法则和幂法则。
应用法则（逐项）：
- $2x^3$ 的导数：应用幂法则。 $2 \cdot (3x^{3-1}) = 6x^2$ 。
- $7x^2$ 的导数：应用幂法则。 $7 \cdot (2x^{2-1}) = 14x^1 = 14x$ 。
- $-5x$ 的导数：记住 $x$ 是 $x^1$ 。应用幂法则。 $-5 \cdot (1x^{1-1}) = -5 \cdot (1x^0) = -5 \cdot (1) = -5$ 。（回忆 $x^0 = 1$ ）。
- $1$ 的导数：这是一个常数。应用常数法则。导数是 $0$ 。
组合结果（使用和法则）： 将每一项的导数相加。
结果： $h'(x) = 6x^2 + 14x - 5 + 0 = 6x^2 + 14x - 5$

求 $f(x) = 8\sqrt{x}$ 的导数。

重写函数： 首先，使用分数指数重写平方根会很有帮助。请记住 $\sqrt{x} = x^{1/2}$ 。所以， $f(x) = 8x^{1/2}$ 。
确定法则： 现在它看起来像一个常数乘以一个幂函数。我们使用幂法则，其中 $n = 1/2$ 。
应用法则： 保持常数 $8$ 。对 $x^{1/2}$ 应用幂法则。将指数 $1/2$ 移到前面，并从指数中减去1（ $1/2 - 1 = -1/2$ ）。
结果： $f'(x) = 8 \cdot (\frac{1}{2} x^{1/2 - 1}) = 8 \cdot (\frac{1}{2} x^{-1/2}) = 4x^{-1/2}$
可选简化： 你也可以使用根式表示为： $4x^{-1/2} = \frac{4}{x^{1/2}} = \frac{4}{\sqrt{x}}$ 。 $4x^{-1/2}$ 和 $\frac{4}{\sqrt{x}}$ 都是导数的正确表示形式。

现在轮到你了。使用我们讨论过的法则来求以下函数的导数。如果需要多试几次也没关系，目标是让你熟悉这些方法。

慢慢来，逐项计算。检查你是否正确应用了常数法则、幂法则和和法则。计算导数是一个基础运算，熟悉这些基本法则对我们后续学习优化将非常有帮助。

这部分内容有帮助吗？