导数的计算：幂法则

导数表示瞬时变化率，或者函数图像上任意一点的切线斜率。直接使用极限定义来计算这个斜率，虽然是基本方法，但对于比最简单函数更复杂的函数来说，会相当麻烦。想象一下，要计算 $f(x) = x^7$ 或更复杂多项式的极限！

幸运的是，数学家们已经推导出计算常见函数类型导数的简便规则。其中一个最基本且常用的是幂法则。它提供了一种直接的方法来求取涉及变量带幂次的函数的导数，比如 $x^2$、$x^3$，甚至仅仅是 $x$。

幂法则适用于 $f(x) = x^n$ 形式的函数，其中 $n$ 是任意实数指数。在本入门课程中，我们将主要关注 $n$ 是非负整数（例如 0, 1, 2, 3, ...）的情况。

幂法则表述

对于函数 $f(x) = x^n$，其导数，记作 $f'(x)$ 或 $\frac{d}{dx}(x^n)$，表示为：

$$f'(x) = nx^{n-1}$$

简单来说：

1. 将指数提到前面： 将原项乘以原指数 $n$。
2. 指数减一： 从原指数中减去 1。

让我们通过几个例子来看看它的应用。

示例 1：$f(x) = x^2$

这个函数表示一个简单的抛物线。让我们应用幂法则。在这里，指数 $n=2$。

1. 将指数提到前面： 我们乘以 2。
2. 指数减一： 新指数是 $2 - 1 = 1$。

所以，导数是：

$$f'(x) = 2x^{2-1} = 2x^1 = 2x$$

这个结果，$f'(x) = 2x$，告诉我们抛物线 $y=x^2$ 在任意点 $x$ 处的切线斜率。例如，在 $x=1$ 处，斜率是 $2(1)=2$。在 $x=0$ 处，斜率是 $2(0)=0$（抛物线的底部）。在 $x=-3$ 处，斜率是 $2(-3)=-6$。

示例 2：$f(x) = x^5$

在这里，$n=5$。

1. 将指数提到前面： 乘以 5。
2. 指数减一： 新指数是 $5 - 1 = 4$。

导数是：

$$f'(x) = 5x^{5-1} = 5x^4$$

示例 3：$f(x) = x$

这看起来可能不一样，但请记住 $x$ 等同于 $x^1$。所以，在这里 $n=1$。

1. 将指数提到前面： 乘以 1。
2. 指数减一： 新指数是 $1 - 1 = 0$。

导数是：

$$f'(x) = 1x^{1-1} = 1x^0$$

现在回想一下，任何非零数的 0 次幂都等于 1（所以 $x^0 = 1$，假设 $x \neq 0$）。

$$f'(x) = 1 \times 1 = 1$$

函数 $f(x) = x$ 的导数是 $f'(x) = 1$。这非常符合直觉！$y=x$ 的图像是一条斜率为 1 的直线，在任何地方都是如此。导数正确地体现了这种固定斜率。

常数项呢？（一个小提示）

考虑一个常数函数，比如 $f(x) = 7$。我们如何用幂法则来考虑它呢？我们可以把 $7$ 写成 $7x^0$。尽管幂法则直接适用于 $x^n$，但我们很快会看到一个针对常数的特定法则。然而，思考 $x^0$ 是有益的。如果我们只考虑 $g(x) = x^0$，幂法则会给出：

$g'(x) = 0x^{0-1} = 0x^{-1} = 0$

导数是 0。这与直觉相符：像 $y=7$ 这样的常数函数是一条水平线，而水平线的斜率总是 0。我们将在下一节中用“常数法则”来对此进行正式说明。

幂法则是一个重要的简化方法。无需每次都费力计算极限，我们现在可以快速求出任何形如 $x^n$ 的项的导数（即变化率）。这条规则是我们后续将大量使用的组成部分，特别是在我们开始研究机器学习 (machine learning)中常见的成本函数时，这些函数通常包含平方项或其他变量的幂次。