导数记法（莱布尼茨和拉格朗日）

既然我们已经了解导数表示瞬时变化率，或者函数图线上某一点的切线斜率，我们来看看它的写法。就像不同的编程语言对类似事物有不同的语法一样，数学家们也发展出了几种常见的导数表示方法。熟悉这些记法很重要，因为你会在机器学习 (machine learning)的文献和资料中经常遇到它们。

拉格朗日记法：撇号

最常见和直接的记法之一由约瑟夫-路易斯·拉格朗日引入。如果你有一个函数，比如 $f(x)$，它的导数通常写成 $f'(x)$。这读作“f 撇 x”（f prime of x）。

撇号（$'$) 只是表示我们正在讨论原始函数 $f$ 的导数。

• 如果函数是 $f(x) = x^2$，那么它的导数是 $f'(x) = 2x$。（我们很快就会学到如何计算它）。
• 如果函数用不同的变量定义，例如 $g(t)$，它的导数是 $g'(t)$。
• 如果我们在讨论函数的输出 $y = f(x)$，有时导数会写成 $y'$。

这种记法紧凑，并清楚地将导数与原始函数名（$f$，$g$ 等）联系起来。当你在特定点求导数的值时，它特别方便。例如，$f'(3)$ 表示“函数 $f$ 在 $x=3$ 处的导数。”

莱布尼茨记法：无穷小量之比

另一种广泛使用的记法来自微积分的发明者之一戈特弗里德·威廉·莱布尼茨。这种记法看起来像一个分数：

$$\frac{dy}{dx}$$

你通常把它读作“y 对 x 的导数”，有时也读作“dy dx”。

我们来分析一下：

• 回想一下，直线的斜率是 $y$ 的变化量除以 $x$ 的变化量，通常写成 $\frac{\Delta y}{\Delta x}$（读作“delta y 比 delta x”）。
• 导数是这个比值的极限，当 $x$ 的变化量变得无穷小时。
• 莱布尼茨使用 $dy$ 和 $dx$（用 'd' 代替 '$\Delta$'）来表示这些无穷小的变化。

因此，$\frac{dy}{dx}$ 直观地表示了 $y$ 发生无穷小变化是由 $x$ 发生无穷小变化所引起的。它强调了输出变量 ($y$) 是相对于哪个变量 ($x$) 而变化的。

如果我们的函数明确写为 $f(x)$，例如 $f(x) = x^2$，莱布尼茨记法可能如下所示：

$$\frac{d}{dx} f(x) \quad \text{或者} \quad \frac{d}{dx} (x^2)$$

在这里，$\frac{d}{dx}$ 类似于一个运算符，意思是“对后面跟着的表达式求关于 $x$ 的导数。”因此，$\frac{d}{dx} (x^2) = 2x$。

为何有两种记法？

这两种记法在不同情境下都有用处：

• 拉格朗日记法（$f'(x)$）： 在处理函数和计算其在特定点的值时，通常更清晰。它很简洁。
• 莱布尼茨记法（$\frac{dy}{dx}$）： 非常清楚我们是关于哪个变量进行求导。在处理多变量函数（我们将在后续章节看到）或处理相关变化率时，这会特别有用。例如，如果成本 ($C$) 取决于模型参数 (parameter) ($w$)，$\frac{dC}{dw}$ 清楚地说明了我们关注的是成本随参数 $w$ 变化而变化的状况。

你不需要只选择一种。你会看到两种记法都被使用，有时甚至同时出现。重要的是要识别它们，并明白 $f'(x)$ 和 $\frac{dy}{dx}$（当 $y=f(x)$ 时）指的是同一个基本思想：函数 $f$ 关于其输入 $x$ 的导数。

在接下来的章节中，我们将开始使用这些记法，在我们学习如何实际计算导数的规则时。