导数：切线的斜率

在上一节中，我们讨论了函数如何变化，查看了平均变化率和瞬时变化率。在一个区间内计算的平均变化率提供了一个大致的了解，但我们通常需要知道函数在 某一点 到底变化多快。想想你的汽车里程表。它不会显示你过去一小时的平均速度；它显示的是你 此刻 的速度。我们要找的就是这种“此刻”的变化率，它引出了导数的想法。

如何形象地理解这种瞬时变化率？想象一下，在一个函数图像的某一点附近放大、再放大。如果函数是平滑的（没有尖角或断裂），曲线会变得越来越像一条直线。这条恰好触及我们感兴趣的单一点，并且在该点与曲线方向相同的直线，称为切线。

考虑割线，它是一条穿过曲线上 两 个点的直线。这条割线的斜率代表了这两个点之间的 平均 变化率。

现在，设想沿着曲线移动其中一个点，使其越来越接近另一个点。随着两点之间距离的缩小，割线会围绕着固定点旋转，越来越接近成为切线。割线的斜率会逼近切线的斜率。

函数 $f(x) = x^2$（蓝色）。随着割线上的第二个点（橙色、红色）向 $x=1$ 处的点靠近，割线的斜率会逼近 $x=1$ 处切线（绿色虚线）的斜率。

这引出了导数的几何定义：

函数 $f(x)$ 在点 $x=a$ 处的导数，就是该点处函数图像的切线斜率。

为什么斜率重要？记住，斜率衡量的是陡峭程度，即变化率。更陡的斜率意味着更快的变化。切线的斜率精确地告诉我们，函数输出 $y$ 相对于输入 $x$ 在那个精确瞬间 的变化速度。

• 如果切线向上倾斜（正斜率），函数在该点增加。
• 如果切线向下倾斜（负斜率），函数在该点减少。
• 如果切线水平（零斜率），函数在该点暂时平坦；它在该点没有增加也没有减少。这通常发生在曲线的波峰和波谷。

数学上，我们使用极限来表达割线斜率逼近切线斜率的这个想法。如果割线上的两点是 $(x, f(x))$ 和 $(x+h, f(x+h))$，那么割线的斜率是：

$\text{割线斜率} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x+h) - f(x)}{(x+h) - x} = \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

为了求得切线的斜率，我们取这个表达式在两点距离 $h$ 趋近于零时的极限：

$\text{切线斜率} = f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

这个极限，如果存在的话，就是 函数 $f$ 在点 $x$ 处的导数。现在不必过于担心直接计算极限。重要的收获是这种形象的联系：导数衡量的是瞬时变化率，在几何上，这对应于函数图像在该特定点切线的斜率。这种关联对于理解我们如何在机器学习中利用导数来求得最佳解是很重要的。