导数计算：常数与和

幂法则可用于求像 $f(x) = x^n$ 这类函数的导数。然而，如何求更简单的函数，比如 $f(x) = 5$ 的导数呢？或者由项组合而成的函数，比如 $f(x) = x^2 + x$ 的导数呢？

我们需要更多规则来处理这些情况。幸运的是，这些规则很直观，它们直接源于导数作为变化率或切线斜率的思想。在本节中，我们将介绍如何求常数函数以及函数和（或差）的导数。

常数的导数：无变化即零斜率

让我们从最简单的函数类型开始：常数函数。请看以下函数：

$f(x) = 5$

无论您给它任何输入值 $x$，这个函数总是输出值 5。它的图像是什么样子？它是一条通过 y 轴上 5 的水平线。

常数函数 $f(x)=c$ 的图像是一条水平线。

请记住，导数表示函数图像的切线斜率。水平线的斜率是多少？是零。这条线既不上升也不下降；它的变化率处处为零。

这给我们带来了第一条规则：

常数法则： 如果 $c$ 是一个常数，那么函数 $f(x) = c$ 的导数为零。

使用导数记号：

If $f(x) = c$, then $f'(x) = 0$.

或者，使用莱布尼茨记号：

$\frac{d}{dx}(c) = 0$

这在道理上是讲得通的：如果一个量从不变化（它是常数），那么它的变化率为零。

示例：

• 如果 $f(x) = 100$，那么 $f'(x) = 0$。
• 如果 $y = -3.14$，那么 $\frac{dy}{dx} = 0$。
• $\frac{d}{dx}(2) = 0$。

函数的组合：和差法则

现在，如果我们有一个由更简单函数相加或相减形成的函数呢？例如，请看：

$h(x) = x^2 + x$

我们知道如何求 $x^2$ 的导数（根据幂法则，它是 $2x$），以及 $x$ 的导数（它表示 $x^1$，所以根据幂法则，它的导数是 $1x^0 = 1$）。相加操作如何影响导数呢？

微积分提供了一个直接的规则：函数和的导数就是它们各自导数的和。这同样适用于差。

和法则： 如果 $h(x) = f(x) + g(x)$，那么 $h'(x) = f'(x) + g'(x)$。

用莱布尼茨记号表示：

$\frac{d}{dx}[f(x) + g(x)] = \frac{d}{dx}f(x) + \frac{d}{dx}g(x)$

差法则： 如果 $h(x) = f(x) - g(x)$，那么 $h'(x) = f'(x) - g'(x)$。

用莱布尼茨记号表示：

$\frac{d}{dx}[f(x) - g(x)] = \frac{d}{dx}f(x) - \frac{d}{dx}g(x)$

基本上，您可以逐项对函数求导。

让我们将此应用于我们的示例 $h(x) = x^2 + x$：

1. 求第一项 $x^2$ 的导数。根据幂法则，$\frac{d}{dx}(x^2) = 2x$。
2. 求第二项 $x$ 的导数。根据幂法则，$\frac{d}{dx}(x) = 1$。
3. 将结果相加：$h'(x) = 2x + 1$。

处理常数倍数

像 $f(x) = 3x^2$ 这样的函数呢？这里，$x^2$ 乘以一个常数 3。对此也有一个简单规则。常数因子在求导时只需“跟随”即可。

常数乘法法则： 如果 $h(x) = c \cdot f(x)$，其中 $c$ 是一个常数，那么 $h'(x) = c \cdot f'(x)$。

用莱布尼茨记号表示：

$\frac{d}{dx}[c \cdot f(x)] = c \cdot \frac{d}{dx}f(x)$

因此，对于 $f(x) = 3x^2$：

1. 识别常数倍数：$c=3$。
2. 识别被乘函数：$f(x) = x^2$。
3. 求该函数的导数：$\frac{d}{dx}(x^2) = 2x$。
4. 将结果乘以该常数：$f'(x) = 3 \cdot (2x) = 6x$。

综合运用

现在我们可以结合常数法则、和差法则、常数乘法法则和幂法则来对任何多项式函数求导。多项式就是各项之和，其中每项都是一个常数乘以 $x$ 的非负整数次幂（比如 $5x^3 - 2x + 7$）。

让我们求 $p(x) = 4x^3 - 5x^2 + x - 2$ 的导数。

我们可以逐项求导：

1. 项 1： $4x^3$
   • $x^3$ 的导数是 $3x^2$。
   • 应用常数乘法法则：$\frac{d}{dx}(4x^3) = 4 \cdot (3x^2) = 12x^2$。
2. 项 2： $-5x^2$
   • $x^2$ 的导数是 $2x$。
   • 应用常数乘法法则：$\frac{d}{dx}(-5x^2) = -5 \cdot (2x) = -10x$。
3. 项 3： $+x$（或 $+1x^1$）
   • $x^1$ 的导数是 $1x^0 = 1$。
   • 应用常数乘法法则（此处可选）：$\frac{d}{dx}(1x) = 1 \cdot (1) = 1$。
4. 项 4： $-2$
   • 这是一个常数。
   • 应用常数法则：$\frac{d}{dx}(-2) = 0$。

现在，使用和差法则合并各项的导数：

$p'(x) = 12x^2 - 10x + 1 - 0$

$p'(x) = 12x^2 - 10x + 1$

有了这些法则（常数法则、常数乘法法则、和差法则和幂法则），您现在拥有了求任何多项式函数导数的工具。它们构成了微分的基本工具集，我们将在研究如何优化函数（机器学习模型训练中的一项核心任务）时大量使用它们。