什么是极限？

函数描述了输入和输出之间的关系，比如 $y = f(x)$。微积分的一个基本思想是极限。极限帮助我们了解函数在特定输入值附近的表现。

想象一下，你正沿着一条路走向一个特定点。极限就像在问：“当我极其靠近那个点时，即使我没有真正踩到那个确切位置，我看起来会到达哪里？”

为什么是“接近”？

有时，我们只需将输入值代入函数即可看到输出。如果我们有 $f(x) = x + 2$，想知道 $x=3$ 时会发生什么，我们计算 $f(3) = 3 + 2 = 5$。这很简单。

但如果函数在我们感兴趣的特定点未定义怎么办？或者我们想了解函数在那个点周围的趋势或动向怎么办？这时极限就变得必不可少。它们让我们能够分析函数在趋近某个值时的表现，而不论那个值恰好发生什么。

趋近一个值：一个例子

我们继续使用简单的函数 $f(x) = x + 2$。我们已经知道 $f(3) = 5$。但我们假装不知道这一点，而是看看当 $x$ 越来越接近 3 时，$f(x)$ 会趋近什么值。

我们可以尝试略小于 3 的 $x$ 值：

• 如果 $x = 2.9$，那么 $f(x) = 2.9 + 2 = 4.9$
• 如果 $x = 2.99$，那么 $f(x) = 2.99 + 2 = 4.99$
• 如果 $x = 2.999$，那么 $f(x) = 2.999 + 2 = 4.999$

以及略大于 3 的值：

• 如果 $x = 3.1$，那么 $f(x) = 3.1 + 2 = 5.1$
• 如果 $x = 3.01$，那么 $f(x) = 3.01 + 2 = 5.01$
• 如果 $x = 3.001$，那么 $f(x) = 3.001 + 2 = 5.001$

注意到规律了吗？当 $x$ 越来越接近 3（从任意一侧）时，输出 $f(x)$ 越来越接近 5。我们称之为“函数 $f(x) = x + 2$ 当 $x$ 趋近 3 时的极限是 5。”

在数学记号中，我们写成：

$$\lim_{x \to 3} (x + 2) = 5$$

让我们分解一下这个记号：

• $\lim$ 表示我们正在求极限。
• $\lim$ 下方的 $x \to 3$ 表示“当输入 $x$ 趋近值 3 时”。
• $(x + 2)$ 是我们正在考察的函数。
• $= 5$ 说明函数趋近的值。

当函数存在“空心点”时

当函数在某个点有间隙或未定义时，极限的实际作用就凸显出来了。思考函数：

$$g(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$$

如果我们尝试代入 $x = 1$ 会发生什么？我们会得到 $\frac{1^2 - 1}{1 - 1} = \frac{0}{0}$，这是未定义的。不允许除以零。因此，$g(1)$ 不存在。

然而，对于 $x$ 不等于 1 的值，我们可以代数简化这个函数。因为 $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$，所以我们有：

$$g(x) = \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = x + 1, \quad \text{条件是 } x \neq 1$$

因此，$g(x)$ 的图像看起来完全像 $f(x) = x + 1$ 的图像，只是在 $x=1$ 的点上有一个“空心点”。

让我们问问：当 $x$ 趋近 1 时，$g(x)$ 的极限是多少？我们可以使用简化形式 $x+1$，因为极限只关注 接近 $x=1$ 的值，而非 在 $x=1$ 处的值。

让我们检查接近 $x=1$ 的值：

• 如果 $x = 0.9$，那么 $g(x) = 0.9 + 1 = 1.9$
• 如果 $x = 0.99$，那么 $g(x) = 0.99 + 1 = 1.99$
• 如果 $x = 1.1$，那么 $g(x) = 1.1 + 1 = 2.1$
• 如果 $x = 1.01$，那么 $g(x) = 1.01 + 1 = 2.01$

当 $x$ 任意接近 1 时，$g(x)$ 任意接近 2。尽管 $g(1)$ 未定义，但极限存在。我们写成：

$$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = 2$$

这是函数 $g(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ 的可视化图像，它表现得像 $y = x+1$，但在 $x=1$ 处有一个空心点。

函数 $g(x) = (x^2 - 1) / (x - 1)$ 的图像是直线 $y = x + 1$，但在点 $(1, 2)$ 处移除了一个点，由空心圆圈表示。当 $x$ 趋近 1 时的极限是函数趋近的 y 值，即 2。

核心思想总结

如果我们能通过选择足够接近 $c$（但不真正等于 $c$）的输入 $x$，使得函数 $f(x)$ 的输出任意接近 $L$，那么当 $x$ 趋近某个值 $c$ 时，函数 $f(x)$ 的极限 $L$ 就存在。即使函数不需要在 $c$ 处定义，极限也可以存在。

这种“任意接近”的思想为导数思想奠定了基础。导数，正如我们将在下一章看到的那样，衡量瞬时变化率，而极限提供了定义这种“瞬时”行为的数学方法。了解极限为我们理解函数如何变化提供了依据，这对于优化机器学习模型非常重要。