函数的可视化：图

函数是接受输入并产生输出的规则。虽然将它们写成数学形式，例如 $f(x) = 2x + 1$，非常精确，但通常通过观察函数的作用会更有帮助。这时图形就有了用武之地。函数的可视化有助于我们直观理解它们的性质，这对我们后续理解变化和优化非常重要。

坐标平面：我们的画板

为了绘制函数，我们通常使用标准的二维坐标系，常被称为笛卡尔平面。您可能以前见过它：

• 一条水平线，称为x轴。该轴表示函数的输入值。
• 一条垂直线，称为y轴。该轴表示函数产生的输出值 $f(x)$。
• 这些轴相交于一个点，称为原点，在该点，x和y都为零，记作 $(0, 0)$。

该平面上的任何一点都可以由一对数字 $(x, y)$ 唯一确定，分别表示其水平和垂直位置。

绘制函数点

函数提供成对的（输入，输出）值。对于函数 $f$，每个输入 $x$ 对应一个输出 $y = f(x)$。我们可以将这对值表示为坐标平面上的点 $(x, f(x))$。

我们来看一个简单的线性函数示例：$f(x) = 2x + 1$。

• 如果输入是 $x = 0$，输出是 $f(0) = 2(0) + 1 = 1$。这得到点 $(0, 1)$。
• 如果输入是 $x = 1$，输出是 $f(1) = 2(1) + 1 = 3$。这得到点 $(1, 3)$。
• 如果输入是 $x = -1$，输出是 $f(-1) = 2(-1) + 1 = -1$。这得到点 $(-1, -1)$。

我们可以计算任意数量的这些点。

从点到图像：图形

函数的图形就是坐标平面上所有可能的点 $(x, f(x))$ 的集合。当我们连接这些点时，它们通常形成一条直线或曲线，以视觉方式呈现函数在不同输入下的性质。

对于我们的线性函数 $f(x) = 2x + 1$，如果我们绘制出计算出的点并将它们连接起来，就会得到一条直线。

线性函数 $f(x) = 2x + 1$ 的图形是一条直线。直线的斜率直观地显示了输出对于给定输入变化的改变速度。

现在，我们来看一个略有不同的函数，一个二次函数：$g(x) = x^2$。

• 如果 $x = 0$， $g(0) = 0^2 = 0$。点：$(0, 0)$。
• 如果 $x = 1$， $g(1) = 1^2 = 1$。点：$(1, 1)$。
• 如果 $x = -1$， $g(-1) = (-1)^2 = 1$。点：$(-1, 1)$。
• 如果 $x = 2$， $g(2) = 2^2 = 4$。点：$(2, 4)$。
• 如果 $x = -2$， $g(-2) = (-2)^2 = 4$。点：$(-2, 4)$。

绘制这些点并连接它们会得到一条曲线，称为抛物线。

二次函数 $g(x) = x^2$ 的图形是一条抛物线。请注意曲线的陡峭程度如何变化。当x从左侧接近0时，它（陡峭程度）减小，在x=0时平坦，当x向右远离0时，它（陡峭程度）增大。

比较这两个图形，您可以看到函数性质的差异。线性函数以恒定速率变化（直线具有恒定斜率）。二次函数的变化率本身是变化的（曲线的陡峭程度不同）。这种视觉上的差异引出了我们即将学习的导数的想法。

为何在机器学习 (machine learning)中进行可视化？

图形是理解事物的极其有用的工具。在机器学习中：

1. 模型表示： 简单的模型有时可以通过图形表示。例如，二维（一个输入特征，一个输出预测）的线性回归模型用一条直线表示，类似于我们的 $f(x) = 2x + 1$ 示例。将此表示出来有助于理解模型如何进行预测。
2. 理解成本函数： 机器学习训练通常涉及最小化“成本”或“损失”函数。此函数衡量模型预测的准确性如何。通常，成本是模型参数 (parameter)（如 $y=mx+b$ 中的 $m$ 和 $b$）的函数。尽管实际机器学习问题中的成本函数有许多输入（参数），但我们可以将简化版本（带有一个或两个参数）可视化为曲线或曲面。训练的目标通常是找到该图形上的最低点，这表示产生最小误差的参数值。观察图形有助于理解“最小化”的含义。
3. 建立直觉： 即使我们处理多变量函数（无法直接在二维或三维空间中可视化），从简单的一维和二维图形中获得的直觉也能够应用过去。“斜率”、“陡峭程度”和“最小点”等思想在更高维度中也有相似的意义，理解视觉表示使得这些抽象的想法更加具体。

通过图形看到函数的形状，可以立即帮助我们了解其性质。当我们学习微积分时，我们将开发工具来精确测量这些图形上任意点的陡峭程度（斜率）等特点，这对于许多机器学习算法的学习和优化是基本的。