机器学习 (machine learning)通常涉及发现规律并基于数据进行预测。要从数学上实现这一点，我们需要一种方法来描述不同量之间的关系。这时就需要用到函数。可以将函数看作一个精确的规则或机制，它接受一个输入，并产生一个且仅一个输出。
想象一台简单的自动售货机：你投入钱（输入），选择商品编号（另一个输入），它会给你一个特定的零食（输出）。数学函数的工作方式类似，但处理的是数字或其他数学对象。
输入与输出
函数是一个精确的规则或机制，它接受一个输入并产生一个输出。我们输入给函数的值称为输入或自变量。函数根据输入产生的值称为输出或因变量。我们常用x这样的字母表示输入，用y或f(x)表示输出。记号f(x)读作“f of x”（f自变量x的函数值），它表示当输入为x时函数f的输出。字母f本身代表函数，即那个将输入转换为输出的规则。
例如，考虑一个函数，它会将你给定的任何数字加倍，然后加1。我们可以用函数记号这样表示这个规则：
f(x)=2x+1
这里：
- f 是函数的名称（规则：“加倍然后加1”）。
- x 是输入变量。
- f(x) 表示与输入x对应的输出。
如果我们提供输入x=3，函数应用该规则：
f(3)=2(3)+1=6+1=7。
所以，对于输入3，输出是7。
如果输入是x=−5，输出是：
f(−5)=2(−5)+1=−10+1=−9。
常见函数类型
函数种类很多，在我们开始学习机器学习 (machine learning)微积分时，有几种函数显得尤为重要：
-
线性函数： 这些函数在图上表现为一条直线。它们的一般形式是：
f(x)=mx+b
这里，m表示斜率（线的陡峭程度），b是y轴截距（线与垂直轴相交的点）。我们刚刚看到的函数f(x)=2x+1就是一个线性函数，其中m=2，b=1。线性函数在机器学习中非常基本，构成了线性回归等模型的依据。
-
多项式函数： 这些函数包含输入变量的非负整数次幂项，例如f(x)=x2（抛物线）或g(x)=3x3−5x+2。它们可以表示数据中更复杂的曲线关系。
-
其他函数： 随着学习的深入，你还会遇到指数函数（ex）、对数函数（log(x)）和三角函数（sin(x),cos(x)），这些函数出现在各种机器学习场景中，例如神经网络 (neural network)中的激活函数 (activation function)或增长模式的建模。
目前，我们先着重理解基本的输入-输出关系。考虑线性函数f(x)=0.5x−1。
- 如果x=4， f(4)=0.5(4)−1=2−1=1。
- 如果x=0， f(0)=0.5(0)−1=0−1=−1。
- 如果x=−2， f(−2)=0.5(−2)−1=−1−1=−2。
每个输入（4,0,−2）都精确地映射到一个输出（1,−1,−2）。
函数在机器学习 (machine learning)中的作用
函数是用于描述我们构建模型的数学语言。
- 模型表示： 机器学习模型通常可以被看作一个函数。它接收输入数据（比如房屋的特征：面积、卧室数量），然后应用一个学习到的规则（函数）来产生一个输出（比如房屋的预测价格）。训练模型意味着调整这个函数的参数 (parameter)（比如mx+b中的m和b），以便进行准确的预测。
- 衡量表现： 我们还使用一些函数，称为成本函数或损失函数 (loss function)，来衡量模型表现得如何。这些函数将模型的预测值和实际目标值作为输入，并输出一个表示误差大小的数字。最小化这个误差函数是模型训练的核心目标，而微积分提供了有效实现这一目标的工具。
将函数理解为从输入到输出的映射是第一步。它为我们表示模型及其表现提供了一个框架，为使用微积分分析和改进模型创造了条件。在接下来的章节中，我们将了解如何以图形方式可视化这些关系，并引入极限这一思想，它直接建立在函数行为的思想之上。
