从近邻方法到隐因子模型

基于近邻的协同过滤是一种直观的方法，通过寻找具有相似评分历史的用户或物品来生成推荐。这种方法通常被认为是基于内存的，它直接处理用户-物品交互矩阵，通过识别“邻居”来预测用户的偏好。虽然这些方法行之有效，但随着数据集规模变大且变得稀疏，它们的表现可能会下降。例如，在数百万用户或物品中计算相似度会消耗大量计算资源。此外，如果两个物品从未被共同评分过，就无法确定它们的相似度，这是稀疏数据集中的常见问题。

为了应对这些挑战，我们现在将注意力转向基于模型的协同过滤。这些方法不在预测时依赖整个数据集，而是使用交互数据来训练一个更紧凑的模型，从而学习用户口味的内在模式。训练好的模型随后可以高效地进行预测，而无需再次扫描所有的用户-物品交互。

最主流的一类基于模型的技术是围绕发现隐因子展开的。这些是隐藏的特征，有助于解释观察到的评分。对于电影数据集，这些因子可能代表“科幻”或“喜剧”等类型，某位导演的存在，或者更抽象的属性，如“成长故事”或“激烈动作”。重点在于我们不需要预先指定这些因子；模型会从评分数据的模式中自动学习它们。

其核心思想是将用户和物品都表示在一个共享的低维隐空间中。

• 每个用户由一个向量 (vector)表示，该向量衡量他们对每个隐因子的喜爱程度。例如，一个用户的向量可能表示对“科幻”有强烈的偏好，而对“喜剧”兴趣不大。
• 每个物品也由一个向量表示，该向量衡量它在多大程度上体现了这些相同的因子。一部电影的向量会显示它在“科幻”方面得分很高，而在“喜剧”方面得分较低。

推荐是通过在这个隐空间中比较用户向量和物品向量来完成的。如果向量对齐 (alignment)良好，意味着用户喜欢该物品所具备的因子，模型就会预测一个高分。这种预测通常计算为两个向量的点积。这种方法允许模型进行泛化。它可以向一位热爱科幻的用户推荐一部科幻电影，即使该用户以前从未给同一位导演或同一批演员的电影评过分。

基于近邻的方法依赖于直接的、可观察的连接（左），而隐因子模型将用户和物品映射到共享的特征空间来推断偏好（右）。

这就引出了矩阵分解，这是揭示这些隐因子的主要技术。正如本章导言中所述，矩阵分解将大型且稀疏的用户-物品交互矩阵 ($R$) 分解为两个较小的稠密矩阵：用户-因子矩阵 ($P$) 和物品-因子矩阵 ($Q$)。来自 $P$ 的用户向量与来自 $Q$ 的物品向量的点积得到了预测评分 $\hat{r}_{ui}$。

$$\hat{r}_{ui} = p_u \cdot q_i$$

通过学习这些因子矩阵，我们创建了用户偏好和物品属性的一种强大且紧凑的表示方式。这种基于模型的方法相比近邻方法有几个优点：

• 更好地处理稀疏性： 它可以估算所有用户-物品对的评分，而不只是那些有重叠交互数据的项。
• 更高的扩展性： 一旦模型训练完成，进行预测的速度极快，因为它只需要进行点积计算，而不需要遍历邻居。
• 紧凑的表示： 我们不需要存储庞大且稀疏的用户-物品矩阵，只需要两个较小的因子矩阵，这在内存效率上要高得多。

在接下来的部分中，我们将了解矩阵分解的运作机制，从其最著名的算法之一——奇异值分解 (SVD) 开始。