用户-物品交互矩阵

为了找到口味相似的用户或经常被一起喜爱的物品，我们必须先将交互数据整理成一种支持数学比较的结构。在协同过滤中，标准的方法是构建一个用户-物品交互矩阵。

该矩阵完整地反映了数据集中所有的用户-物品交互情况。按照惯例，每一行代表一个唯一的用户，每一列代表一个唯一的物品。用户行与物品列相交单元格中的数值（记作 $R_{u,i}$）表示用户 $u$ 与物品 $i$ 之间的交互。

$R_{u,i}$ 的值可以是：

• 显式评分：例如 1 到 5 星级中的 4 分。
• 隐式信号：例如二元值（用户查看了该物品则为 1，否则为 0）或交互次数（用户播放某首歌曲的次数）。
• 特殊值：例如 0 或 null，表示没有发生交互。

最显著的特点是，对于任何给定的用户，他们通常只与所有可选物品中的极小部分产生过交互。这意味着矩阵中的大部分单元格都是空的。这种特性被称为稀疏性，它是推荐系统数据集的一个典型特征。

该图显示了一个稀疏矩阵，其中彩色单元格代表已记录的评分，带有问号的灰色单元格代表未知的交互。协同过滤的目标就是预测这些未知单元格的值。

实际构建矩阵

在实际操作中，你的数据通常以“长表”格式存在，每一行代表一次交互（例如：user_id, item_id, rating）。我们可以使用 pandas 库将这些数据转换为所需的用户-物品矩阵。

假设我们有一个结构如下的 DataFrame ratings_df：

import pandas as pd
import numpy as np

data = {
    'user_id': ['用户 A', '用户 A', '用户 B', '用户 B', '用户 C', '用户 C'],
    'item_id': ['物品 1', '物品 3', '物品 2', '物品 5', '物品 1', '物品 4'],
    'rating': [5, 2, 3, 4, 4, 1]
}
ratings_df = pd.DataFrame(data)

print(ratings_df)

输出：

  user_id item_id  rating
0    用户 A    物品 1       5
1    用户 A    物品 3       2
2    用户 B    物品 2       3
3    用户 B    物品 5       4
4    用户 C    物品 1       4
5    用户 C    物品 4       1

我们可以对该 DataFrame 进行透视操作来创建用户-物品矩阵，其中索引为 user_id，列为 item_id，数值为 rating。缺失的交互将自动填充为 NaN 等空值。

user_item_matrix = ratings_df.pivot_table(
    index='user_id',
    columns='item_id',
    values='rating'
)

print(user_item_matrix)

输出：

item_id  物品 1  物品 2  物品 3  物品 4  物品 5
user_id
用户 A      5.0     NaN     2.0     NaN     NaN
用户 B      NaN     3.0     NaN     NaN     4.0
用户 C      4.0     NaN     NaN     1.0     NaN

得到的 DataFrame 就是我们的用户-物品交互矩阵。NaN 值直观地表现了我们提到的稀疏性。由于对于真实数据集，这些矩阵可能会变得非常庞大，专业的库通常会使用 SciPy 中的稀疏矩阵等高效数据结构来存储它们，以避免消耗过多的内存。在目前的学习和实现中，pandas DataFrame 已经非常合适了。

从矩阵到向量 (vector)

一旦有了这个矩阵，我们就可以将每一行看作一个用户向量，将每一列看作一个物品向量。

• 用户向量代表单个用户在所有物品上的偏好。例如，用户 A 的向量是 [5.0, NaN, 2.0, NaN, NaN]。
• 物品向量代表单个物品在所有用户中的接受程度。例如，物品 1 的向量是 [5.0, NaN, 4.0]。

这种向量表示法非常有用，因为它允许我们使用数学方法来衡量距离或相似度。例如，我们可以计算 用户 A 和 用户 C 向量之间的相似度，以判断他们是否有相似的口味。这是我们在接下来的“寻找邻居”章节中要学习的核心操作。通过将抽象的用户行为转化为具体的矩阵，我们已经为协同过滤算法打下了基础。