QR分解概览

QR分解是一种非常有用的矩阵分解方法，类似于SVD和LU分解。对于一个$m \times n$矩阵$A$（通常$m \ge n$且列线性无关），QR分解会找到两个特定的矩阵$Q$和$R$，使得：

$A = QR$

其中，$Q$是一个$m \times n$的正交标准列矩阵，而$R$是一个$n \times n$的上三角矩阵。让我们更仔细地看看这些组成部分。

正交矩阵 Q

矩阵$Q$具有一个特殊性质：它的列构成一个正交标准集。回顾第四章，这意味着两点：

1. 每个列向量 (vector)的欧几里得范数（长度）为1（$||\mathbf{q}_i||_2 = 1$）。
2. 任意两个不同的列向量彼此正交（它们的点积为零，$\mathbf{q}_i \cdot \mathbf{q}_j = \mathbf{q}_i^T \mathbf{q}_j = 0$ (当 $i \neq j$)）。

综合这些，我们可以使用矩阵乘法简洁地陈述正交标准列矩阵$Q$的定义性质：

$Q^T Q = I$

其中$I$是$n \times n$的单位矩阵。

满足此条件的矩阵被称为正交矩阵。（严格来说，如果$Q$是方阵，$Q^T Q = I$也意味着$Q Q^T = I$，使得$Q^T$成为$Q$的逆，即$Q^T = Q^{-1}$）。

正交矩阵的一个重要几何意义是，通过$Q$（或$Q^T$）进行乘法运算会保持长度和角度不变。正交矩阵表示的变换是刚性运动，例如旋转或反射。在QR分解中，$Q$的列构成了原始矩阵$A$的列空间的规范正交基。这个过程类似于格拉姆-施密特过程，它接受一组线性无关向量（$A$的列）并产生一个跨越相同空间的正交标准集（$Q$）。

上三角矩阵 R

矩阵$R$是一个$n \times n$的上三角矩阵。这意味着主对角线以下的所有元素都为零：

$$R = \begin{pmatrix} r_{11} & r_{12} & \cdots & r_{1n} \\ 0 & r_{22} & \cdots & r_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & r_{nn} \end{pmatrix}$$

矩阵$R$基本上编码了矩阵$A$的原始列与$Q$中的正交标准基向量 (vector)之间的关系。具体而言，$A$的每个列$\mathbf{a}_j$都可以表示为$Q$的前$j$个列的线性组合，其系数来自$R$的第$j$列。

$R$的上三角结构在计算上具有优势，尤其是在求解线性方程组时，我们将在后面看到这一点。

QR分解将矩阵A分解为一个正交矩阵Q（其列是正交标准向量）和一个上三角矩阵R。

最小二乘问题中的应用

QR分解最重要的应用之一是求解线性最小二乘问题。回顾一下，这些问题经常出现在机器学习 (machine learning)中拟合模型时，例如线性回归，我们希望找到一个向量 (vector)$\mathbf{x}$，使$A\mathbf{x}$与目标向量$\mathbf{b}$之间的差异最小化，即最小化$||A\mathbf{x} - \mathbf{b}||_2^2$。

标准方法涉及求解正规方程组：

$A^T A \mathbf{x} = A^T \mathbf{b}$

然而，计算$A^T A$有时可能导致数值稳定性问题，特别是当$A$的列接近线性相关时。矩阵$A^T A$可能会变成病态（条件数很大），使解对小误差敏感。

QR分解提供了一种数值更稳定的替代方案。如果我们将$A = QR$代入原始的最小二乘目标函数（或者对于存在解的系统，直接代入$A\mathbf{x} = \mathbf{b}$），我们得到：

$QR\mathbf{x} = \mathbf{b}$

现在，两边乘以$Q^T$：

$Q^T Q R \mathbf{x} = Q^T \mathbf{b}$

由于$Q^T Q = I$，这完美地简化为：

$R \mathbf{x} = Q^T \mathbf{b}$

这为我们提供了一个带有上三角矩阵$R$的线性方程组。这样的系统非常容易且数值稳定地使用一个称为回代的过程来求解。我们首先求解$\mathbf{x}$的最后一个分量，然后将该值代回倒数第二个方程以求解下一个分量，依此类推，向上回溯。

由于此方法避免形成$A^T A$，它通常比直接使用正规方程组具有更好的数值特性，使其成为许多数值计算库中的首选方法。

QR分解的计算

尽管QR分解的原理可以通过格拉姆-施密特过程来理解，但实际实现通常使用数值更稳定的算法，如豪斯霍尔德变换或吉文斯旋转。这些方法迭代地构建$Q$和$R$。幸运的是，您很少需要自己实现这些算法；像NumPy和SciPy这样的数值计算库提供了高效且可靠的函数来计算QR分解，我们将在实践部分使用它们。