动手实践：数据点变换

矩阵可以表示线性变换。使用NumPy对一组数据点应用缩放和旋转等变换。此应用说明了矩阵乘法在处理几何数据方面的作用，这是计算机图形学和机器学习数据预处理等方面的常见任务。

准备工作

首先，确保已安装并导入NumPy。我们将定义一个由二维点组成的小型数据集。为使变换易于观察，我们使用构成简单形状（如“L”形）的点。

import numpy as np
import math

# 将数据点定义为矩阵中的行向量
# 每行是一个点 (x, y)
data_points = np.array([
    [0, 0],
    [1, 0],
    [1, 1],
    [1, 2]
])

print("原始数据点（每行是一个点）：")
print(data_points)

我们的data_points矩阵有4行（表示点）和2列（表示x和y坐标）。

可视化原始数据

在进行变换前，我们先可视化这些起始点。散点图适用于此。

我们的数据点形成的初始L形。

变换1：缩放

让我们应用一个缩放变换。我们将x坐标缩放1.5倍，y坐标缩放0.5倍。为此的缩放矩阵$S$为：

$$S = \begin{bmatrix} 1.5 & 0 \\ 0 & 0.5 \end{bmatrix}$$

当我们用这个缩放矩阵$S$乘以我们的数据矩阵$D$（点以行表示），即$D' = D @ S$，每个点$(x, y)$将变为$(1.5x, 0.5y)$。

# 定义缩放矩阵
scaling_matrix = np.array([
    [1.5, 0],
    [0,   0.5]
])

# 应用变换
# 数据点是行 (n x 2)，缩放矩阵是 (2 x 2)
# 结果是 (n x 2) @ (2 x 2) = (n x 2)
scaled_data = data_points @ scaling_matrix

print("\n缩放后的数据点：")
print(scaled_data)

让我们可视化结果并与原始点一起显示。

L形水平拉伸（x轴缩放1.5倍）并垂直压缩（y轴缩放0.5倍）。

变换2：旋转

现在，让我们将原始点逆时针旋转45度（${\pi}/{4}$弧度）。角度为$\theta$的逆时针旋转矩阵$R$为：

$$R = \begin{bmatrix} \cos(\theta) & \sin(\theta) \\ -\sin(\theta) & \cos(\theta) \end{bmatrix}$$

我们将其应用为$D' = D @ R$。

# 以弧度定义旋转角度
angle_degrees = 45
angle_radians = math.radians(angle_degrees)
cos_theta = math.cos(angle_radians)
sin_theta = math.sin(angle_radians)

# 定义旋转矩阵
rotation_matrix = np.array([
    [cos_theta, sin_theta],
    [-sin_theta, cos_theta]
])

# 对原始数据应用变换
rotated_data = data_points @ rotation_matrix

print(f"\n旋转矩阵（{angle_degrees}度逆时针）：")
print(rotation_matrix)
print("\n旋转后的数据点：")
print(rotated_data)

让我们可视化旋转结果。

L形围绕原点(0,0)逆时针旋转45度。请注意，坐标根据旋转矩阵中的三角函数而变化。

组合变换

线性变换可以组合使用。对数据$D$应用变换$T_1$后再应用$T_2$的效果，等同于应用一个单一的组合变换$T_{combined} = T_1 @ T_2$。顺序很重要！我们先应用缩放，然后应用旋转。

$D'' = (D @ S) @ R = D @ (S @ R)$

# 组合变换：先缩放，后旋转
# 选项1：按顺序应用
temp_data = data_points @ scaling_matrix # 先应用缩放
scaled_then_rotated_data = temp_data @ rotation_matrix # 然后应用旋转

# 选项2：先组合矩阵
combined_matrix_SR = scaling_matrix @ rotation_matrix
scaled_then_rotated_data_combined = data_points @ combined_matrix_SR

print("\n组合矩阵（先缩放后旋转）：")
print(combined_matrix_SR)
print("\n先缩放后旋转的数据（按顺序）：")
print(scaled_then_rotated_data)
print("\n先缩放后旋转的数据（组合矩阵）：")
print(scaled_then_rotated_data_combined)

# 验证它们在数值上接近
assert np.allclose(scaled_then_rotated_data, scaled_then_rotated_data_combined)

让我们可视化先缩放后旋转的最终结果。

L形经过缩放（水平拉伸、垂直压缩）然后逆时针旋转45度后的结果。将其与先旋转后缩放的效果进行比较（供读者练习！）。

总结与关联

本次动手练习说明了矩阵乘法如何提供一种简洁且计算高效的方式，来对数据应用几何变换。我们使用NumPy的@运算符进行矩阵乘法，以对一组二维点执行缩放和旋转操作。

理解这些操作对以下方面很有意义：

• 数据扩充： 在计算机视觉中，图像（像素数据集合）常被旋转、缩放或剪切，以人工增加训练数据集的大小和多样性，从而帮助模型更好地泛化。
• 特征工程： 使用矩阵操作变换现有特征有时能为机器学习模型创建新的、更具信息量的特征。
• 降维： 主成分分析（PCA）等技术（我们将在后面了解）在很大程度上依赖于由数据结构指导的线性变换（特别是旋转），以减少特征数量同时保留重要信息。
• 理解模型内部运作： 有些模型会对输入数据隐式执行线性变换。可视化这些变换有助于对数据如何在模型中流动形成直觉。

以下是完整的Python代码供参考：

import numpy as np
import math

# 1. 定义原始数据
data_points = np.array([
    [0, 0],
    [1, 0],
    [1, 1],
    [1, 2]
])
print("原始数据点:\n", data_points)

# 2. 定义缩放变换
scaling_factor_x = 1.5
scaling_factor_y = 0.5
scaling_matrix = np.array([
    [scaling_factor_x, 0],
    [0,                scaling_factor_y]
])
scaled_data = data_points @ scaling_matrix
print("\n缩放矩阵:\n", scaling_matrix)
print("缩放后的数据:\n", scaled_data)

# 3. 定义旋转变换
angle_degrees = 45
angle_radians = math.radians(angle_degrees)
cos_theta = math.cos(angle_radians)
sin_theta = math.sin(angle_radians)
rotation_matrix = np.array([
    [cos_theta,  sin_theta],
    [-sin_theta, cos_theta]
])
rotated_data = data_points @ rotation_matrix
print(f"\n旋转矩阵 ({angle_degrees} 度逆时针):\n", rotation_matrix)
print("旋转后的数据:\n", rotated_data)

# 4. 组合变换 (先缩放后旋转)
# 选项1: 按顺序
scaled_then_rotated_data = (data_points @ scaling_matrix) @ rotation_matrix
# 选项2: 先组合矩阵
combined_matrix_SR = scaling_matrix @ rotation_matrix
scaled_then_rotated_data_combined = data_points @ combined_matrix_SR

print("\n组合矩阵 (缩放 @ 旋转):\n", combined_matrix_SR)
print("先缩放后旋转的数据:\n", scaled_then_rotated_data)

# 验证
assert np.allclose(scaled_then_rotated_data, scaled_then_rotated_data_combined)
print("\n按顺序和组合矩阵应用的结果是一致的。")

尝试使用不同的变换矩阵（例如，剪切、反射、不同的缩放因子或旋转角度），并观察它们对数据点的影响。考虑以不同顺序应用变换，看看结果如何变化。