常见矩阵类型

如我们所见，矩阵是组织数据和描述线性变换的重要工具。虽然任何数字网格都构成矩阵，但某些类型的矩阵具有特殊结构和性质，使其在机器学习 (machine learning)中尤为有用。识别这些类型有助于更好地理解算法，并常带来明显的计算效率提升。下面介绍一些您会经常遇到的常见类型。

方阵

最基本的分类是方阵，它简单地说就是行数和列数相等（$n \times n$）。许多重要性质，如矩阵逆、行列式、特征值和特征向量 (vector)（我们将在后面介绍），主要为方阵定义。它们常表示给定维度空间内的变换，或方程数量与未知数数量相等的系统。

单位矩阵

单位矩阵，表示为 $I$（或 $I_n$ 以指定 $n \times n$ 大小），是标量乘法中数字1的矩阵对应物。它是一个方阵，主对角线（从左上到右下）上均为1，其余位置均为0。

$$I_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

其主要性质是，任何矩阵 $A$ 乘以适当大小的单位矩阵后，矩阵 $A$ 保持不变： $AI = A$ 和 $IA = A$。 同样，向量 (vector) $x$ 乘以 $I$ 后，向量保持不变：$Ix = x$。

在机器学习 (machine learning)中，单位矩阵可代表不进行任何操作的变换，作为基准或初始状态。它在定义中也起着基本作用，例如矩阵逆的定义。

您可以使用NumPy中的 np.identity() 或 np.eye() 创建单位矩阵：

import numpy as np

# 创建一个3x3单位矩阵
I = np.identity(3)
print(I)
# 输出:
# [[1. 0. 0.]
#  [0. 1. 0.]
#  [0. 0. 1.]]

# np.eye() 类似但更灵活（可创建非方阵）
I_eye = np.eye(3)
print(I_eye)

对角矩阵

对角矩阵是一种方阵，其中所有非对角线元素均为零。主对角线元素可以是任意值，包括零。单位矩阵是对角矩阵的一个特例。

$$D = \begin{bmatrix} d_1 & 0 & 0 \\ 0 & d_2 & 0 \\ 0 & 0 & d_3 \end{bmatrix}$$

对角矩阵在计算上非常方便。涉及对角矩阵的矩阵乘法会大大简化，通常只是对另一个矩阵的行或列进行缩放。对角矩阵的逆（如果存在）通过取每个对角线元素的倒数即可轻松求得。

在机器学习 (machine learning)中，对角矩阵常表示沿坐标轴的缩放变换。例如，对角协方差矩阵意味着特征之间不相关。它们也作为奇异值分解（SVD）中的一个核心组成部分（$\Sigma$）出现。

NumPy使用 np.diag() 可以轻松创建对角矩阵：

# 从列表或数组创建对角矩阵
diag_elements = [2, -1, 5]
D = np.diag(diag_elements)
print(D)
# 输出:
# [[ 2  0  0]
#  [ 0 -1  0]
#  [ 0  0  5]]

# 从现有矩阵中提取对角线元素
diag_extracted = np.diag(D)
print(diag_extracted)
# 输出: [ 2 -1  5]

对称矩阵

对称矩阵是一种方阵，它等于其自身的转置。也就是说，$A = A^T$。这意味着第 $i$ 行第 $j$ 列的元素与第 $j$ 行第 $i$ 列的元素相同（$a_{ij} = a_{ji}$）。

$$S = \begin{bmatrix} 1 & 7 & -2 \\ 7 & 3 & 0 \\ -2 & 0 & 5 \end{bmatrix} \quad \text{是对称矩阵，因为 } S = S^T$$

对称矩阵在机器学习 (machine learning)中非常重要。例子包括：

• 协方差矩阵：描述特征对之间的方差和协方差。始终是对称的。
• 相关矩阵：协方差矩阵的标准化版本。始终是对称的。
• 核矩阵：在支持向量 (vector)机（SVM）及其他核方法中用于衡量相似度。通常是对称的。
• Hessian矩阵：用于优化算法的二阶偏导数矩阵。在某些条件下是对称的。

对称矩阵的一个重要性质是其特征值总是实数，对应于不同特征值的特征向量是正交的。这个性质是主成分分析（PCA）等方法的基础。

您可以在NumPy中检查对称性：

S = np.array([[1, 7, -2], [7, 3, 0], [-2, 0, 5]])
is_symmetric = np.allclose(S, S.T) # 使用 np.allclose 进行浮点数比较
print(f"S是对称的吗？ {is_symmetric}")
# 输出: S是对称的吗？ True

NotSymmetric = np.array([[1, 7], [-7, 3]])
print(f"NotSymmetric是对称的吗？ {np.allclose(NotSymmetric, NotSymmetric.T)}")
# 输出: NotSymmetric是对称的吗？ False

转置矩阵

我们刚刚使用转置定义了对称矩阵。矩阵 $A$ 的转置，表示为 $A^T$，是通过交换其行和列获得的。如果 $A$ 是一个 $m \times n$ 矩阵，$A^T$ 将是一个 $n \times m$ 矩阵，其中 $(A^T)_{ij} = A_{ji}$。

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \quad \implies \quad A^T = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{bmatrix}$$

转置操作有几个性质，特别是 $(AB)^T = B^T A^T$ 和 $(A+B)^T = A^T + B^T$。它常在机器学习 (machine learning)公式和推导中出现，例如线性回归的正规方程 ($X^T X \hat{\beta} = X^T y$)，以及在处理数据表示时。

在NumPy中，转置可以轻松通过 .T 属性或 np.transpose() 函数访问：

A = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])
A_transpose = A.T
print(A_transpose)
# 输出:
# [[1 4]
#  [2 5]
#  [3 6]]

# 使用函数实现相同效果
A_transpose_func = np.transpose(A)
print(A_transpose_func)

逆矩阵

对于一个方阵 $A$，其逆矩阵，表示为 $A^{-1}$，是一个与 $A$ 相乘后得到单位矩阵的矩阵： $AA^{-1} = A^{-1}A = I$ 一个矩阵必须是方阵才能有逆，但并非所有方阵都有逆。有逆矩阵的矩阵称为可逆矩阵或非奇异矩阵。如果逆矩阵不存在，则该矩阵称为不可逆矩阵或奇异矩阵。逆矩阵是否存在由一个称为行列式的值决定（在第3章中讨论）。

逆矩阵对于解 $Ax = b$ 形式的线性方程组很重要。如果 $A$ 可逆，则唯一解为 $x = A^{-1}b$。虽然这在数学上很优美，但与解决 $Ax=b$ 的其他方法相比，对于大型矩阵，直接计算逆矩阵通常数值不稳定且计算成本高昂。我们将在下一章进一步说明。

性质包括 $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ 和 $(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$。

NumPy提供了 np.linalg.inv() 用于计算逆矩阵：

A = np.array([[1, 2], [3, 4]])

try:
    A_inv = np.linalg.inv(A)
    print("矩阵A的逆:")
    print(A_inv)

    # 验证: A @ A_inv 应该接近单位矩阵
    identity_check = A @ A_inv
    print("\n验证 (A @ A_inv):")
    print(identity_check)
    print(f"接近单位矩阵吗？ {np.allclose(identity_check, np.eye(2))}")

except np.linalg.LinAlgError:
    print("矩阵A是奇异的，没有逆。")

# 奇异矩阵的例子
B = np.array([[1, 2], [2, 4]])
try:
    B_inv = np.linalg.inv(B)
    print(B_inv)
except np.linalg.LinAlgError:
    print("\n矩阵B是奇异的。")

# 输出:
# Inverse of A:
# [[-2.   1. ]
#  [ 1.5 -0.5]]
#
# Verification (A @ A_inv):
# [[1.0000000e+00 0.0000000e+00]
#  [8.8817842e-16 1.0000000e+00]]
# Is close to identity? True
#
# Matrix B is singular.

如前所述，对于求解 $Ax=b$，通常更推荐使用 np.linalg.solve(A, b) 而不是显式计算逆矩阵。

正交矩阵

正交矩阵 $Q$ 是一种方阵，其列（和行）构成一组标准正交向量 (vector)。这意味着每个列向量的长度（L2范数）为1，并且每个列向量都与其他所有列向量正交（点积为零）。

正交矩阵的一个主要性质是其转置等于其逆： $Q^T Q = Q Q^T = I \quad \implies \quad Q^{-1} = Q^T$ 这使得涉及逆的计算变得简单。向量乘以正交矩阵相当于对向量进行刚性旋转和/或反射。重要的是，这些变换保持向量的长度和它们之间的角度不变：$||Qx||_2 = ||x||_2$。

正交矩阵在数值计算中很有用，因为它们本身稳定且不放大误差。它们在主成分分析（PCA）等算法（其中对称矩阵的特征向量矩阵可以选择为正交的）以及QR分解和SVD等矩阵分解中扮演重要角色。

# 二维旋转矩阵的例子（它是正交的）
theta = np.pi / 4 # 45 degrees
Q = np.array([[np.cos(theta), -np.sin(theta)],
              [np.sin(theta),  np.cos(theta)]])

print("正交矩阵Q（45度旋转）:")
print(Q)

# 验证正交性: Q^T @ Q 应该为单位矩阵
identity_check = Q.T @ Q
print("\n验证 (Q.T @ Q):")
print(identity_check)
print(f"接近单位矩阵吗？ {np.allclose(identity_check, np.eye(2))}")

# 验证逆矩阵等于转置矩阵
Q_inv = np.linalg.inv(Q)
print("\nQ的逆矩阵:")
print(Q_inv)
print(f"逆矩阵接近转置矩阵吗？ {np.allclose(Q_inv, Q.T)}")

# Output:
# Orthogonal matrix Q (45-degree rotation):
# [[ 0.70710678 -0.70710678]
#  [ 0.70710678  0.70710678]]
#
# Verification (Q.T @ Q):
# [[1. 0.]
#  [0. 1.]]
# Is close to identity? True
#
# Inverse of Q:
# [[ 0.70710678  0.70710678]
#  [-0.70710678  0.70710678]]
# Is inverse close to transpose? True

理解这些常见矩阵类型有助于简化问题，理解算法行为（例如PCA依赖对称协方差矩阵），并采用高效的计算实现。随着学习的推进，您会发现这些结构在各种机器学习 (machine learning)场景中反复出现。