动手实践：特征向量操作

Python 的 NumPy 库用于直接处理特征向量。特征向量表示数据，并且可以对它们执行基本运算。实际应用将演示向量操作、范数、点积和距离——这些运算在机器学习算法中经常用到。

假设我们有数据，代表了两位在线用户根据其与三类内容（如：文章、视频和播客）的互动（例如：花费的时间）而简化的个人资料。

• 用户A：[10小时文章，5小时视频，2小时播客]
• 用户B：[8小时文章，9小时视频，3小时播客]

我们可以将它们表示为 $\mathbb{R}^3$ 中的向量。

设置向量

首先，让我们导入 NumPy 并创建这些向量。

import numpy as np

# 用户互动向量（小时）
user_a = np.array([10, 5, 2])
user_b = np.array([8, 9, 3])

print(f"用户A向量： {user_a}")
print(f"用户B向量： {user_b}")

基本运算

假设我们想分析这两位用户在互动方面的差异。我们可以简单地用一个向量减去另一个。

# 计算差异向量
difference = user_a - user_b
print(f"差异 (A - B)： {difference}")

结果 [2, -4, -1] 表明，与用户 B 相比，用户 A 在文章上多花了 2 小时，在视频上少花了 4 小时，在播客上少花了 1 小时。

现在，假设我们想预测如果用户 A 将所有类别的活动量增加 50%，他们的互动情况会是怎样。这就是标量乘法。

# 将用户 A 的互动按 1.5 倍（150%）缩放
scaled_user_a = user_a * 1.5
print(f"缩放后的用户 A： {scaled_user_a}")

计算范数（大小）

我们如何量化每位用户的“总体互动”？向量范数能让我们了解其大小。让我们计算 $L_2$（欧几里得）范数和 $L_1$（曼哈顿）范数。

$L_2$ 范数计算方法为 $||v||_2 = \sqrt{\sum_i v_i^2}$。

# L2 范数（欧几里得）
l2_norm_a = np.linalg.norm(user_a) # 默认是 L2 范数
l2_norm_b = np.linalg.norm(user_b)

print(f"L2 范数（用户 A）： {l2_norm_a:.2f}")
print(f"L2 范数（用户 B）： {l2_norm_b:.2f}")

$L_2$ 范数表示 3D 特征空间中从原点到向量的直线距离。它提供了一个考虑所有分量的总体大小衡量。

$L_1$ 范数计算方法为 $||v||_1 = \sum_i |v_i|$。

# L1 范数（曼哈顿）
l1_norm_a = np.linalg.norm(user_a, ord=1)
l1_norm_b = np.linalg.norm(user_b, ord=1)

print(f"L1 范数（用户 A）： {l1_norm_a:.2f}")
print(f"L1 范数（用户 B）： {l1_norm_b:.2f}")

$L_1$ 范数代表了所有类别互动时长的总和。在此情境下，它或许可以更直接地解释为总花费时间。尽管用户 A 的 $L_2$ 范数略高，但用户 B 的总互动时间（20 小时）略高于用户 A（17 小时）。不同的范数侧重于向量大小的不同方面。

点积计算相似度

点积有助于衡量两个向量的对齐程度或相似度。点积值越大且为正，表示向量指向更相似的方向。

点积计算方法为 $A \cdot B = \sum_i A_i B_i$。

# 计算点积
dot_product = np.dot(user_a, user_b)
print(f"点积 (A . B)： {dot_product}")

结果（131）是正数，表示他们在互动模式上存在一定的对齐。为了得到一个与大小（总小时数）无关的标准化相似度衡量，我们可以计算余弦相似度：

$\cos(\theta) = \frac{A \cdot B}{||A||_2 ||B||_2}$

# 计算余弦相似度
cosine_similarity = dot_product / (l2_norm_a * l2_norm_b)
print(f"余弦相似度： {cosine_similarity:.2f}")

余弦相似度接近 1 意味着向量指向非常相似的方向（各类别互动比例相似），而接近 0 的值表示正交（模式差异很大），-1 则表示方向相反。在此，0.91 表明互动资料相对相似，尽管在特定类别上存在差异。该指标在推荐系统和信息检索中应用广泛。

计算距离

这些用户在互动资料上“相距多远”？我们可以使用范数来计算距离。最常见的是欧几里得距离，它就是我们之前计算的差异向量的 $L_2$ 范数。

$\text{距离}(A, B) = ||A - B||_2$

# 计算欧几里得距离
euclidean_distance = np.linalg.norm(difference) # 差异向量的 L2 范数
# 或者： np.linalg.norm(user_a - user_b)
print(f"用户 A 和用户 B 之间的欧几里得距离： {euclidean_distance:.2f}")

这个距离用一个数字表示了两位用户的互动向量在 3D 空间中的差异程度。距离越小，意味着用户越相似。这个思想对于 k-最近邻 (k-NN) 等算法来说非常重要。

我们还可以计算曼哈顿距离（差异向量的 $L_1$ 范数）：

# 计算曼哈顿距离
manhattan_distance = np.linalg.norm(difference, ord=1)
print(f"用户 A 和用户 B 之间的曼哈顿距离： {manhattan_distance:.2f}")

曼哈顿距离汇总了每个轴上的绝对差异（$|2| + |-4| + |-1| = 7$）。它表示的是，如果你只能沿着特征空间轴的网格线移动时的距离。

总结

在本次实践练习中，你使用 NumPy 完成了以下操作：

1. 将数据点（用户资料）表示为向量。
2. 进行基本的向量运算（减法、标量乘法）来比较和转换数据。
3. 计算 $L_1$ 和 $L_2$ 范数，以了解向量的大小或总互动量。
4. 计算点积和余弦相似度，以衡量用户偏好的对齐程度或相似性。
5. 计算欧几里得距离和曼哈顿距离，以量化用户资料间的差异。

这些运算是许多机器学习技术的基础组件。熟练运用 NumPy 等工具进行这些计算和解释，是有效应用线性代数的重要一步。随着课程的推进，你会看到这些运算应用于更多维度的向量，表示复杂的数据特征。