从不完整的回合中学习

蒙特卡洛（MC）方法通过平均完成整个回合后观测到的回报来估计价值函数。这就像是，只有在你到达最终目的地并清点所有经历后，才能判断一次多日徒步旅行的质量。这种方法虽然可行，但有一个主要限制：学习只能在回合结束后才进行。对于非常长甚至连续的任务（永不结束的任务），等待“最终结果”是不实际或不可能的。

时序差分（TD）学习提供了一种不同的方法。TD方法不是等到回合结束才得知最终回报 $G_t$，而是根据获得的即时奖励 $R_{t+1}$ 以及下一状态 $S_{t+1}$ 的当前估计价值来更新状态 $S_t$ 的价值估计。

设想你在状态 $S_t$，采取动作 $A_t$，获得奖励 $R_{t+1}$，并到达状态 $S_{t+1}$。

• MC 方法 会等到回合结束（时间 $T$）才计算实际回报 $G_t = R_{t+1} + \gamma R_{t+2} + ... + \gamma^{T-t-1} R_T$。然后它们会使用这个 $G_t$ 作为目标来更新 $V(S_t)$。
• TD 方法，特别是我们将很快详细介绍的最简单形式 TD(0)，仅使用下一步的信息形成一个目标：即时奖励 $R_{t+1}$ 加上下一状态价值的折现当前估计，即 $\gamma V(S_{t+1})$。在时间 $t$ 进行更新的目标是 $R_{t+1} + \gamma V(S_{t+1})$。

这种部分基于另一个已学习估计来更新一个估计的过程称为自举（bootstrapping）。TD 学习使用自举，因为对 $V(S_t)$ 的更新依赖于现有的 $V(S_{t+1})$ 估计。这就像你根据到达城市 B 的情况，并利用你当前对从城市 B 到城市 Z 旅行时间的估计来调整你从城市 A 到城市 Z 的估计旅行时间，而不是等到你实际到达城市 Z。

更新时机的比较。MC 方法会等到回合结束（状态 $S_T$）才计算实际回报 $G_t$，并更新该回合中访问过的状态的价值。TD 方法在访问一个状态后（例如 $V(S_0)$），会在下一步（$t+1$）很快对其价值进行更新，使用观测到的奖励（$R_1$）和对下一状态价值的当前估计（$V(S_1)$）。

这种从每一步学习，而不是等待回合结束的能力，赋予了 TD 方法一些优点：

1. 在线学习： TD 方法可以在每一步之后进行学习。它们不需要等待回合完成，这使得它们适用于那些理论上可能永不结束的连续任务。
2. 效率： 在实践中，TD 方法在源自马尔可夫奖励过程的监督学习 (supervised learning)基准测试上通常比 MC 方法收敛更快。它们传播关于奖励的信息更为渐进，但更频繁。
3. 无需最终结果： 它们可以在最终结果不总是可用或回合非常长的环境中进行学习。

TD 学习结合了蒙特卡洛方法和动态规划（DP）的思想。与 MC 类似，它直接从原始经验中学习，而不需要环境动态的模型（即转移概率 $p(s', r | s, a)$）。与 DP 类似，它使用自举来基于其他估计更新估计值。这种结合使得 TD 方法成为现代强化学习 (reinforcement learning)的重要组成部分。

在接下来的部分中，我们将对这一思路进行形式化，首先介绍用于估计状态价值的 TD(0) 算法，然后转向学习动作价值的 SARSA 和 Q-learning 等控制算法。