量子误差缓解技术

正如本章引言中谈到的，噪声是当前NISQ硬件计算中无法避免的一面。退相干、不完善的门操作以及读出错误会破坏量子态，并导致QML算法理论预期结果与真实设备上测量结果之间的偏差。尽管完全容错的量子纠错需要远超NISQ能力的资源开销，但我们仍可以使用量子误差缓解技术。

误差缓解的目的不是在计算过程中防止或修正单个门或量子比特层面的错误。相反，它侧重于减小噪声对最终聚合结果的影响，这些结果通常是QML成本函数和预测所需的期望值。这些技术通常涉及处理从多次运行（可能已修改的）有噪声量子电路中获得的结果。下面我们来看一些主要方法。

零噪声外推（ZNE）

零噪声外推（ZNE）的核心思想很直观：如果我们可以可控地放大量子电路中的噪声，并观察输出如何变化，或许就能反向外推，估算出在理想零噪声情况下输出会是什么。

1. 噪声标定： 首要条件是有一种方法可以有效地按已知因子增加影响电路执行的噪声水平，我们将其称为$\lambda$（其中$\lambda=1$表示基准噪声水平）。门基础噪声的一种常用技术是单位插入或门折叠。由于一对门及其逆（$U U^\dagger$）在逻辑上表现为单位操作，将这样的对插入电路理想上不会改变计算结果。然而，在有噪声的硬件上，每个插入的门都会增加更多噪声。通过插入$k$对$U U^\dagger$，我们可以近似地将与门$U$相关的噪声按因子$\lambda = 2k+1$进行标定。其他方法可能涉及延长门脉冲的持续时间，如果硬件控制允许的话，这通常会增加退相干的暴露。

2. 测量： 我们针对不同的噪声标定因子$\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_m$（其中$\lambda_i \ge 1$）多次执行量子电路，并估算出每个因子对应的期望值$E(\lambda_i)$。

3. 外推： 我们假定期望值$E(\lambda)$是噪声标定因子的函数。一种常见假设是在$\lambda=0$附近进行泰勒展开：

   $$E(\lambda \epsilon) \approx E(0) + c_1 (\lambda \epsilon) + c_2 (\lambda \epsilon)^2 + \dots$$

   其中$E(0)$是期望的零噪声值，$\epsilon$代表固有的基准噪声强度。通过测量几个$\lambda_i$对应的$E(\lambda_i)$，我们可以将模型（例如线性、二次、理查森或指数模型）拟合到这些数据点，然后将拟合结果外推回$\lambda=0$以估算$E(0)$。

   例如，使用理查森外推法，取两个点$\lambda_1=1$和$\lambda_2 > 1$，并假设线性噪声模型$E(\lambda \epsilon) \approx E(0) + a \lambda$：

   $$E(0) \approx \frac{\lambda_2 E(\lambda_1=1) - E(\lambda_2)}{\lambda_2 - 1}$$

ZNE具有吸引力，因为它相对简单易行，尤其是使用门折叠时，并且不需要底层噪声过程的详细量化模型。然而，它也存在一些局限性：

• 它会增加$\lambda > 1$时的电路深度（或持续时间），可能加剧噪声效应或达到相干时间限制。
• 其有效性很大程度上取决于所选噪声标定方法是否能实际标定主导噪声源，以及外推模型与真实噪声行为的匹配程度。
• 外推过程可能会放大统计采样噪声（散粒噪声），与未经缓解的结果相比，需要更多的测量才能达到相同的精度。

ZNE示意图。在标定噪声水平（$\lambda \ge 1$）下测得的有噪声期望值用于外推回理想的零噪声值（$\lambda = 0$）。

概率误差抵消（PEC）

概率误差抵消采用了一种不同的方法。它不是从放大的噪声中外推，而是试图统计性地反转作用于门上的噪声通道的平均效应。这需要对噪声本身有更全面的认识。

1. 噪声表征： PEC依赖于对电路中每个门操作所受噪声的准确模型。门集层析成像（GST）等技术可以用于表征噪声，噪声通常由每个有噪声门实现的量子过程图或矩阵$\mathcal{E}$来表示。令$\mathcal{G}$表示我们希望执行的理想、无噪声门操作。

2. 门分解： 核心思想是将理想门$\mathcal{G}$表示为一组可实现的（可能有噪声的）操作$\{\mathcal{E}_i\}$的线性组合。这些$\mathcal{E}_i$通常包括$\mathcal{G}$本身的标准有噪声实现，以及硬件上可用的其他操作。我们寻求系数$c_i$使得：

   $$\mathcal{G} = \sum_i c_i \mathcal{E}_i$$

   值得注意的是，一些系数$c_i$可能为负值。这意味着分解结果是一个准概率分布。

3. 随机实现： 为了有效地实现$\mathcal{G}$，我们在电路中用一个概率过程来替代它。在$\mathcal{G}$应该出现的位置，我们随机选择一个基门$\mathcal{E}_i$并应用它。选择$\mathcal{E}_i$的概率由$p_i = |c_i| / \gamma$给出，其中$\gamma = \sum_j |c_j|$。因子$\gamma$被称为缓解开销或成本，且$\gamma \ge 1$。

4. 结果重标： 在执行带有随机选择门的电路并获得测量结果后，必须根据该步骤中采样的特定门$\mathcal{E}_i$，将结果按$\gamma \times \text{sign}(c_i)$进行加权。对这些加权结果进行多次随机运行的平均，可以恢复出如果应用了理想门$\mathcal{G}$本应获得的期望值。

PEC的主要优势在于，只要噪声模型准确，它就有可能直接近似理想计算。它通常不会增加电路深度。然而，它伴随着可观的成本：

• 需要大量且准确的噪声表征（层析成像），这在实验上要求很高。
• 采样开销可能很大。实现特定统计精度所需的测量次数与缓解开销呈平方关系，即$\gamma^2$。如果$\gamma$很大（当噪声明显或基$\{\mathcal{E}_i\}$不适配时可能发生），所需的测量次数可能变得过高。
• 计算分解系数$c_i$可能计算密集。

概率误差抵消将理想门替换为可实现的（有噪声的）操作$\mathcal{E}_i$的概率混合，根据准概率$|c_i|/\gamma$进行采样。最终测量结果按$\gamma \times \text{sign}(c_i)$进行重标。

其他缓解策略

除了ZNE和PEC，其他技术则针对噪声的特定方面或借助问题结构：

• 测量误差缓解： 这专门针对最终量子比特读出过程中发生的错误。它通常涉及一个校准步骤，其中准备所有可能的基态（例如，$|00\rangle, |01\rangle, |10\rangle, |11\rangle$），并测量每种状态的结果分布。这会生成一个校准矩阵$M$，其中$M_{ij}$是在真实状态为$j$时测量结果为$i$的概率。然后，通过计算$P_{ideal} \approx M^{-1} P_{noisy}$（使用适当的伪逆或展开技术）来修正实验观察到的概率分布$P_{noisy}$。如果读出错误占主导，这通常在ZNE或PEC等其他缓解步骤之后应用，有时也作为独立技术使用。

• 动态去耦（DD）： 动态去耦虽然常被认为是误差抑制，但它涉及在计算的空闲期间向量子比特施加一系列控制脉冲（如泡利X或Y门）。这些脉冲使量子比特的演化重新聚焦，有效地平均掉一些缓慢变化的噪声源并减少退相干。它不纠正门错误，但有助于保持相干性。

• 对称性验证/后选择： 如果问题或算法具有理想状态必须遵守的已知对称性（例如，粒子数守恒，特定的总自旋），则可以测量这些对称性。违反对称性的运行结果会被丢弃（后选择）。这可以滤除破坏对称性的错误，但这需要有可高效测量的对称性，并接受丢弃运行结果的成本。

技术的选择与组合

最佳的误差缓解策略通常取决于具体的QML算法、所用硬件中的主要噪声源以及可接受的开销（电路深度与测量次数）。

• ZNE 通常是一个好的起点，因为它相对简单且不依赖于模型，特别是当通过门折叠进行噪声标定可行时。
• PEC 如果详细的噪声表征可行且采样开销$\gamma^2$可控，则有望提供更高的准确性。
• 测量缓解 如果读出错误明显，几乎总是有益的，并且常可与其他技术结合使用。
• 动态去耦 可以在空闲时间应用，无论是否使用其他缓解方法。
• 对称性验证 是针对具体问题的，但在适用时可能效果显著。

组合使用技术也很常见。例如，ZNE可以用于缓解相干门错误，随后进行测量误差缓解来纠正读出噪声。

请记住，误差缓解技术是管理而非消除噪声的影响。它们通常会引入自身的权衡，例如估算期望值中的统计方差增加，或者如果噪声模型或外推假设不完善，则会存在残余的系统偏差。理解这些权衡以及每种技术的局限性，对于在NISQ设备上实际实现QML时有效地应用它们非常必要。研究仍在不断完善这些方法并发展新途径，以连接有噪声硬件与有用的量子计算。