变分量子算法（VQAs）是一种强大的混合方法，它将量子计算的能力与经典优化技术相结合。如前所述，这种结构使得它们尤其适合在当前和近期的量子硬件上运行。这些算法的构建依据是量子力学中的变分原理。
变分原理：逼近的依据
在量子力学中，变分原理提供了一种估算由哈密顿量 H H H E 0 E_0 E 0 ∣ ψ ⟩ |\psi\rangle ∣ ψ ⟩
E [ ψ ] = ⟨ ψ ∣ H ∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣ ψ ⟩ E[\psi] = \frac{\langle \psi | H | \psi \rangle}{\langle \psi | \psi \rangle} E [ ψ ] = ⟨ ψ ∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣ H ∣ ψ ⟩ 如果试探状态 ∣ ψ ⟩ |\psi\rangle ∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣ ψ ⟩ = 1 \langle \psi | \psi \rangle = 1 ⟨ ψ ∣ ψ ⟩ = 1
E [ ψ ] = ⟨ ψ ∣ H ∣ ψ ⟩ E[\psi] = \langle \psi | H | \psi \rangle E [ ψ ] = ⟨ ψ ∣ H ∣ ψ ⟩ 变分原理的核心表述是：
E [ ψ ] ≥ E 0 E[\psi] \ge E_0 E [ ψ ] ≥ E 0 当且仅当试探状态 ∣ ψ ⟩ |\psi\rangle ∣ ψ ⟩ E 0 E_0 E 0 ∣ ψ 0 ⟩ |\psi_0\rangle ∣ ψ 0 ⟩ E 0 E_0 E 0
使原理适用于量子计算
变分量子算法巧妙地将此原理应用于量子计算机。我们不再使用任意的试探波函数，而是使用可以通过量子计算机利用参数 (parameter)化量子电路（PQC）制备的量子状态 ∣ ψ ( θ ⃗ ) ⟩ |\psi(\vec{\theta})\rangle ∣ ψ ( θ )⟩ U ( θ ⃗ ) U(\vec{\theta}) U ( θ ) θ ⃗ = ( θ 1 , θ 2 , … , θ M ) \vec{\theta} = (\theta_1, \theta_2, \dots, \theta_M) θ = ( θ 1 , θ 2 , … , θ M ) ∣ 0 … 0 ⟩ |0\dots 0\rangle ∣0 … 0 ⟩
∣ ψ ( θ ⃗ ) ⟩ = U ( θ ⃗ ) ∣ 0 … 0 ⟩ |\psi(\vec{\theta})\rangle = U(\vec{\theta}) |0\dots 0\rangle ∣ ψ ( θ )⟩ = U ( θ ) ∣0 … 0 ⟩ 哈密顿量 H H H H H H C ( θ ⃗ ) C(\vec{\theta}) C ( θ )
那么任务就变成找到最优参数集 θ ⃗ ∗ \vec{\theta}^* θ ∗ H H H
C ( θ ⃗ ) = ⟨ ψ ( θ ⃗ ) ∣ H ∣ ψ ( θ ⃗ ) ⟩ = ⟨ 0 … 0 ∣ U † ( θ ⃗ ) H U ( θ ⃗ ) ∣ 0 … 0 ⟩ C(\vec{\theta}) = \langle \psi(\vec{\theta}) | H | \psi(\vec{\theta}) \rangle = \langle 0\dots 0 | U^\dagger(\vec{\theta}) H U(\vec{\theta}) | 0\dots 0 \rangle C ( θ ) = ⟨ ψ ( θ ) ∣ H ∣ ψ ( θ )⟩ = ⟨ 0 … 0∣ U † ( θ ) H U ( θ ) ∣0 … 0 ⟩ 目标是找到：
θ ⃗ ∗ = arg min θ ⃗ C ( θ ⃗ ) \vec{\theta}^* = \arg \min_{\vec{\theta}} C(\vec{\theta}) θ ∗ = arg θ min C ( θ ) 混合量子-经典循环
这种最小化是通过一个迭代的混合循环实现的，该循环包含量子处理器和经典优化器：
初始化： 选择初始参数 (parameter)集 θ ⃗ 0 \vec{\theta}_0 θ 0 量子执行：
使用当前参数 θ ⃗ k \vec{\theta}_k θ k U ( θ ⃗ k ) U(\vec{\theta}_k) U ( θ k )
在量子计算机上制备状态 ∣ ψ ( θ ⃗ k ) ⟩ = U ( θ ⃗ k ) ∣ 0 … 0 ⟩ |\psi(\vec{\theta}_k)\rangle = U(\vec{\theta}_k)|0\dots 0\rangle ∣ ψ ( θ k )⟩ = U ( θ k ) ∣0 … 0 ⟩
测量期望值 ⟨ H ⟩ θ ⃗ k = ⟨ ψ ( θ ⃗ k ) ∣ H ∣ ψ ( θ ⃗ k ) ⟩ \langle H \rangle_{\vec{\theta}_k} = \langle \psi(\vec{\theta}_k) | H | \psi(\vec{\theta}_k) \rangle ⟨ H ⟩ θ k = ⟨ ψ ( θ k ) ∣ H ∣ ψ ( θ k )⟩ H H H C ( θ ⃗ k ) C(\vec{\theta}_k) C ( θ k )
经典优化：
将代价 C ( θ ⃗ k ) C(\vec{\theta}_k) C ( θ k )
优化器提出一组新的参数 θ ⃗ k + 1 \vec{\theta}_{k+1} θ k + 1
迭代： 重复步骤2和3，直到满足收敛标准（例如，代价的变化低于阈值，或达到最大迭代次数）。
变分量子算法特有的混合量子-经典循环示意图。量子处理器制备并测量参数化状态，而经典优化器根据测量结果调整参数，以最小化代价函数。
这种迭代过程运用量子计算机处理被认为经典困难的任务（制备和测量复杂的量子状态），同时依赖成熟的经典算法进行优化。变分原理保证，通过最小化可测量的代价函数 C ( θ ⃗ ) C(\vec{\theta}) C ( θ )
