QML任务的代价函数

在变分量子算法 (VQA) 框架中，参数 (parameter)化量子电路 (PQC) 准备量子态 $|\psi(\boldsymbol{\theta})\rangle$，其中 $\boldsymbol{\theta}$ 表示我们希望优化的经典参数。然而，为了引导这种优化，我们需要一种方法来衡量量子态 $|\psi(\boldsymbol{\theta})\rangle$ 达到目标机器学习 (machine learning)目的的程度。这就是代价函数 $C(\boldsymbol{\theta})$ 的作用。它充当量子处理单元 (QPU) 和经典优化程序之间的重要连接，将量子测量结果转换为表示性能的标量值。

从量子测量到经典代价

VQA 评估步骤的核心在于量子测量。通常，在量子态 $|\psi(\boldsymbol{\theta})\rangle$ 准备好之后，我们会以特定的基（通常是计算基，$Z$-基）测量一个或多个量子比特。这个测量过程本质上是概率性的，会产生经典比特串作为结果。

为了形成适合优化的可微分代价函数，我们通常不直接使用这些比特串的原始概率。相反，我们计算所选可观测量的期望值，这是一个厄米算子 $\hat{O}$。对于由 PQC 使用参数 (parameter) $\boldsymbol{\theta}$ 准备的给定量子态 $|\psi(\boldsymbol{\theta})\rangle$，期望值计算如下：

$$\langle \hat{O} \rangle_{\boldsymbol{\theta}} = \langle \psi(\boldsymbol{\theta}) | \hat{O} | \psi(\boldsymbol{\theta}) \rangle$$

这个期望值 $\langle \hat{O} \rangle_{\boldsymbol{\theta}}$ 提供一个平滑的实数值输出，它取决于电路参数 $\boldsymbol{\theta}$。它表示如果我们多次测量量子态 $|\psi(\boldsymbol{\theta})\rangle$ 上的可观测物 $\hat{O}$ 将会得到的平均值。这个期望值，或从中及目标数据标签导出的函数，构成我们代价函数 $C(\boldsymbol{\theta})$ 的根本。

整个过程可以如下图所示：

VQA 循环包括使用当前参数 $\boldsymbol{\theta}$ 通过 PQC 准备一个量子态，测量可观测物 $\hat{O}$ 以估计其期望值 $\langle \hat{O} \rangle_{\boldsymbol{\theta}}$，通过将该值与目标进行比较来计算代价 $C(\boldsymbol{\theta})$，并将代价反馈给经典优化器以提出更新的参数。

为特定机器学习 (machine learning)任务设计代价函数

$C(\boldsymbol{\theta})$ 的具体形式在很大程度上取决于当前的机器学习任务。让我们查看一些常见情况：

分类

在分类任务中，目标是将输入数据 $x_i$ 分配到几个离散类别中的一个。

• 二分类： 对于具有两个类别（例如，标记 (token)为 +1 和 -1）的问题，一种常见方法是设计 PQC 和可观测物 $\hat{O}$，使得期望值 $\langle \hat{O} \rangle_{\boldsymbol{\theta}}^{(i)}$（为输入 $x_i$ 计算）与类别标签 $y_i$ 相关。例如，我们可以在第一个量子比特上测量泡利 Z 算子 $\hat{Z}_0$，目标是对于一个类别使其约为 $+1$，对于另一个类别约为 $-1$。

  • 均方误差 (MSE)： 一个直接的代价函数是预测期望值与目标标签之间的 MSE： $$C_{\text{MSE}}(\boldsymbol{\theta}) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (\langle \hat{O} \rangle_{\boldsymbol{\theta}}^{(i)} - y_i)^2$$ 其中 $N$ 是训练样本的数量。尽管简单，但 MSE 会二次方地惩罚偏差，这对于分类而言可能并非总是最有效的损失。
  • 合页损失 (Hinge Loss)： 受到支持向量 (vector)机 (SVM) 的启发，合页损失鼓励期望值具有正确的符号并高于某个裕度： $$C_{\text{Hinge}}(\boldsymbol{\theta}) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \max(0, 1 - y_i \langle \hat{O} \rangle_{\boldsymbol{\theta}}^{(i)})$$ 如果预测 $\langle \hat{O} \rangle_{\boldsymbol{\theta}}^{(i)}$ 具有正确的符号（$y_i \langle \hat{O} \rangle_{\boldsymbol{\theta}}^{(i)} \ge 1$），则此损失为零，否则线性增加。
  • 交叉熵损失： 这种损失在经典机器学习中常用于概率分类器。如果我们将测量结果解释为概率，则可以进行调整。例如，如果我们测量量子比特 0 并估计测量 $|0\rangle$（与标签 $y_i=1$ 相关联）的概率 $p(+1|\boldsymbol{\theta}, x_i)$ 和测量 $|1\rangle$（与标签 $y_i=0$ 相关联）的概率 $p(-1|\boldsymbol{\theta}, x_i)$，则二元交叉熵为： $$C_{\text{XEnt}}(\boldsymbol{\theta}) = -\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} [y_i \log p(+1|\boldsymbol{\theta}, x_i) + (1-y_i) \log p(-1|\boldsymbol{\theta}, x_i)]$$ 使用交叉熵需要从测量计数中仔细估计概率，这可能是样本密集型的。它通常需要将二元标签 $\{0, 1\}$ 或 $\{-1, +1\}$ 适当映射到从特定测量结果得出的概率。

• 多分类： 将这些想法扩展到两个以上的类别通常涉及使用多个输出量子比特、不同的测量策略（例如，测量多个泡利算子）或组合二分类器。代价函数需要相应调整，通常使用 MSE 或交叉熵的多类别版本。

回归

在回归中，目标是为输入 $x_i$ 预测一个连续值 $y_i$。

• 期望值 $\langle \hat{O} \rangle_{\boldsymbol{\theta}}^{(i)}$ 本身可以作为预测的连续输出。可观测物 $\hat{O}$ 的比例和范围理想情况下应与目标值 $y_i$ 的预期范围匹配，否则输出需要重新缩放。
• 均方误差 (MSE)： 这是 VQA 中回归最常用的代价函数： $$C_{\text{MSE}}(\boldsymbol{\theta}) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (\langle \hat{O} \rangle_{\boldsymbol{\theta}}^{(i)} - y_i)^2$$ 它直接惩罚量子模型预测与真实连续值之间的平方差。

生成模型

用于生成任务的代价函数，例如使用量子电路玻恩机 (QCBM) 学习概率分布或训练量子生成对抗网络 (GAN) (QGAN)，有所不同。它们通常涉及比较量子电路生成的概率分布与目标数据分布的度量（例如，最大平均差异、库尔巴克-莱布勒散度估计）或源自判别器网络的对抗性损失。这些将在第6章中更详细地介绍。

选择合适的可观测物

可观测物 $\hat{O}$ 的选择并非随意；它是 VQA 设计的一个组成部分。它精确决定了最终量子态 $|\psi(\boldsymbol{\theta})\rangle$ 的哪个属性被提取以进行预测。常见选择包括：

• 单量子比特泡利算子： 作用于特定量子比特 $k$ 的 $\hat{Z}_k$、$\hat{X}_k$ 或 $\hat{Y}_k$。测量 $\hat{Z}_k$ 很自然，因为它对应于计算基中的测量。
• 多量子比特泡利串： 像 $\hat{Z}_0 \otimes \hat{Z}_1$ 或 $\hat{X}_0 \otimes \hat{Y}_1$ 这样的张量积。这些捕获量子比特之间的相关性。
• 泡利串的加权和（哈密顿量）： 更复杂的观测值，通常受到问题结构的启发，例如 $\hat{H} = \sum_k c_k \hat{P}_k$，其中 $\hat{P}_k$ 是泡利串，$c_k$ 是系数。

应根据 PQC 编码信息的方式来选择可观测物。如果最终答案预期编码在特定量子比特的偏振中，则测量该量子比特上的泡利算子有道理。如果相关性很重要，则可能需要多量子比特可观测物。在将其与目标标签或值关联时，还应考虑期望值的范围（例如，泡利算子的 $[-1, +1]$）。

期望值的实际估计

需要记住的是，在任何真实的量子计算机（或模拟量子计算机的模拟器）上，我们都无法获得精确的期望值 $\langle \hat{O} \rangle_{\boldsymbol{\theta}}$。相反，我们通过准备量子态 $|\psi(\boldsymbol{\theta})\rangle$ 并重复测量可观测物 $\hat{O}$，例如 $N_{\text{shots}}$ 次，来估计它。

• 如果 $\hat{O}$ 在测量基中是对角的（例如计算基中的 $\hat{Z}$），我们计算对应于其特征值的测量结果的频率。
• 如果 $\hat{O}$ 不是对角的（例如 $\hat{X}$ 或 $\hat{Y}$），我们需要在测量前应用适当的基变换门，或将 $\hat{O}$ 分解为可以单独测量的更简单可观测物（如泡利串）的和。

此估计的准确性取决于测量次数，估计的标准差通常按 $1/\sqrt{N_{\text{shots}}}$ 缩放。这种固有的统计噪声，被称为“散粒噪声”，意味着代价函数评估本身是嘈杂的，与经典机器学习 (machine learning)中函数评估通常是确定性相比，这给优化过程增加了一层难度。

对优化的影响

代价函数 $C(\boldsymbol{\theta})$ 定义了优化器需要寻找最佳参数 (parameter) $\boldsymbol{\theta}$ 的优化曲面。这个曲面的结构，受 PQC 架构、数据编码、可观测物选择以及特定代价函数公式的影响，决定了训练 VQA 的可行性和效率。存在许多局部最小值或贫瘠高原现象（梯度随量子比特数量呈指数级消失的区域）等问题，都与 $C(\boldsymbol{\theta})$ 及其梯度的属性直接相关。因此，理解如何定义有效的代价函数，对于构建成功的机器学习 (machine learning) VQA 来说是不可或缺的。关于梯度计算和优化技术的后续章节将直接以此为依据。