高维经典数据编码

经典机器学习 (machine learning)经常处理数据集，其中每个数据点都由一个包含大量特征的向量 (vector)表示，通常有数千甚至数百万个特征。例如图像识别、自然语言处理或基因组分析。将此类高维数据引入量子范畴，构成一个重大难题，在量子机器学习中常被称为“输入问题”。简单地将每个特征映射到一个量子比特（如在基本基编码中）对于当前和近期量子硬件是不可行的，这些硬件通常只提供数十到数百个量子比特。我们需更巧妙的策略，以便在可用量子资源的限制下，紧凑而有效地表示这些丰富的经典信息。

本节讨论将高维经典数据向量 $x \in \mathbb{R}^N$（当 $N$ 很大时）编码到量子态 $|\phi(x)\rangle$ 中的方法和考量，使用可控数量的量子比特 $n$，理想情况下 $n \ll N$。

维度挑战

编码向量 (vector) $x = (x_1, x_2, ..., x_N)$ 最直接、信息无损的方式似乎是振幅编码。在这里，$N=2^n$ 个特征被归一化 (normalization)并编码为 $n$ 个量子比特量子态的振幅：

$$|\phi(x)\rangle = \frac{1}{\|x\|} \sum_{i=1}^{N} x_i |i\rangle$$

这里 $|i\rangle$ 代表与 $i$ 的二进制表示对应的计算基态。这实现了指数级压缩，仅使用 $n$ 个量子比特编码了 $2^n$ 个特征。然而，制备像 $|\phi(x)\rangle$ 这样的任意量子态通常很困难。已知算法通常需要电路深度与 $n$ 成多项式甚至指数级增长，可能抵消所寻求的量子优势。此外，从结果状态中提取有关特定特征（振幅）的信息并非易事。

基编码中，每个特征可能控制一个特定量子比特或一组量子比特的状态，它随特征数量 ($N$) 线性扩展（$N$ 个特征需要 $\mathcal{O}(N)$ 个量子比特），使其在当前硬件上不适合高维数据。

角度编码将特征 $x_i$ 映射到应用于单个量子比特的旋转角度 $\theta_i(x_i)$（例如，$R_X(\theta_i(x_i))$、$R_Y(\theta_i(x_i))$、$R_Z(\theta_i(x_i))$），如果每个特征都有自己的旋转门，通常需要 $n \approx N$ 个量子比特。尽管存在使用更少量子比特但电路更复杂的变体（例如密集角度编码或数据重上传），但基本的难题依然存在：我们如何有效地压缩高维信息？

高维数据编码策略

面对这些限制，采用了一些策略，通常是组合使用：

1. 经典降维

在考虑量子编码之前，应用经典降维技术通常是最实用的第一步。如果数据的固有维度远低于环境维度 $N$，可以采用以下方法：

• 主成分分析 (PCA): 找到数据中最大方差的正交方向。将数据投影到前 $k$ 个主成分上，可以在显著降低维度的同时保留大部分方差。
• 自动编码器: 训练用于将数据压缩成低维潜在表示（编码）然后重建（解码）的神经网络 (neural network)。压缩后的潜在向量 (vector)可以随后编码到量子比特上。
• 特征选择: 识别并选择原始特征中最具信息量的子集的算法，基于统计属性或模型性能。

目标是获得一个低维表示 $x' \in \mathbb{R}^{N'}$，其中 $N' \ll N$，这样更容易使用量子方法编码到 $n \approx N'$ 或更少量子比特上。这种预处理步骤利用强大的经典机器学习 (machine learning)工具，并将量子资源集中在最重要的信息上。

2. 量子比特高效的量子编码方案

即使经过经典降维，$N'$ 对于朴素编码可能仍然太大。量子比特高效的量子编码策略旨在利用 $n < N'$ 个量子比特：

• 振幅编码（再审视）: 尽管其状态制备存在挑战，但如果 $N' = 2^n$，它仍然是最量子比特高效的方法。针对与机器学习 (machine learning)任务相关的特定状态类别的有效制备方法正在进行研究。如果后续量子算法能够整体处理振幅中的信息而无需单独访问它们，则尤其重要。
• 角度编码变体：
  • 密集角度编码: 多个特征 ($k$) 可以通过围绕不同轴的旋转序列编码到单个量子比特上，例如 $R_Z(\theta_1) R_Y(\theta_2) R_Z(\theta_3)...$，并且 $\theta_j$ 取决于特征的某个子集。如果每个量子比特编码 $k$ 个特征，$N'$ 个特征大约需要 $n \approx N'/k$ 个量子比特。
  • 数据重上传: 如前所述，采用数据重上传的电路可以使用固定且可能较少数量的量子比特 ($n$) 处理高维数据。经典数据 $x$ 影响整个电路中的多个参数 (parameter)化门。这隐式地创建了一个复杂的特征映射，而无需 $N'$ 个量子比特。表达能力取决于电路深度和结构，而不仅仅是量子比特的数量。

针对高维数据的典型工作流程，涉及量子编码前的经典降维。

3. 随机投影

受约翰逊-林登施特劳斯引理等经典技术启发，随机投影可以将高维数据映射到较低维空间，同时近似保持距离。量子对应方法涉及应用由数据参数 (parameter)化的随机（或伪随机）量子电路。尽管在电路深度方面可能高效，但分析此类随机特征映射的特性是一个活跃的研究方向。

权衡与考量

为高维数据选择编码策略需要权衡多方面因素：

• 量子比特数量: 相对于数据维度 ($N$ 或 $N'$) 需要多少量子比特 ($n$)？振幅编码在此方面最佳，而基编码最差。角度编码变体介于两者之间。
• 电路深度/复杂度: 实现编码需要多少个门？振幅编码可能深度较大，而简单角度编码深度较浅但需要大量量子比特。数据重上传在量子比特数量和深度之间提供了一种权衡。NISQ 硬件偏爱浅层电路。
• 信息损失: 经典降维本身就涉及一些信息损失。量子编码方法也可能隐式地丢弃信息或根据结构使其无法访问。
• 表达能力与纠缠: 这种编码是否创建了丰富的特征空间？基本角度编码的简单乘积态可能缺乏复杂任务所需的表达能力。更复杂的编码或使用纠缠的编码可以创建更丰富的特征映射，但更难实现和分析。
• 算法兼容性: 编码的选择影响后续算法。核方法依赖于有效计算内积 $\langle\phi(x)|\phi(x')\rangle$。VQA 依赖于 $|\phi(x)\rangle$ 的结构以及参数 (parameter)如何影响测量。编码必须与量子算法处理信息的方式兼容。

有效编码高维数据仍然是QML中的一个重要瓶颈和活跃的研究方向。通常，结合经典预处理和精心选择的、量子比特高效的量子编码方案的混合方法提供了最可行的前进方向，特别是针对近期量子设备时。最佳策略通常取决于数据和特定任务，需要进行实验并仔细分析这些权衡。