区间估计：置信区间

点估算，比如样本均值 $\bar{x}$，为我们提供一个单一数值，作为对未知总体参数（如总体均值 $\mu$）的最佳估算。例如，如果我们从人群样本中计算出平均身高为175厘米，那么这就是我们感兴趣的总体中所有人的平均身高的点估算。

但是，这个单一数值有多可靠呢？如果选取不同的样本，我们很可能得到略有不同的样本均值，或许是173厘米或176厘米。点估算无法告知我们这种不确定性，也无法说明估算在不同样本之间可能有多少变动。这时就需要区间估算。

区间估算并非只提供一个数值，它提供一个总体参数的可能值范围。这个范围被称为置信区间。

什么是置信区间？

置信区间是根据样本数据计算出的一个范围，该范围很可能包含未知总体参数的真实值。它由两个数值定义：一个下限和一个上限。例如，我们可能不是简单地说平均身高是175厘米，而是说我们“有95%的把握认为总体的真实平均身高在172厘米到178厘米之间。”

这个区间 [172 厘米, 178 厘米] 就是置信区间。“95%”这部分是置信水平。

置信水平的说明

置信水平（通常是90%、95%或99%）表示我们对用于生成该区间的方法的信心程度。正确理解这一点很重要：

• 正确说明： 如果我们重复多次抽样过程，并为每个样本构建一个95%的置信区间，我们预期约有95%的这些区间会包含真实、固定（但未知）的总体参数。
• 常见误解： 这并不意味着真实总体参数有95%的概率落在某个特定的计算区间内。一旦我们从样本中计算出一个区间（例如172厘米到178厘米），真实的总体参数要么在那个特定范围内，要么不在。它不会跳进跳出。不确定性在于我们抽取的特定样本是否恰好给出了一个包含真实值的区间。

把它想象成将套环套在一个固定的木桩（真实总体参数）上。置信水平说明你套环方法的成功率。如果你有95%的成功率，这意味着在多次尝试中，你的95%的套环将落在木桩周围。对于任何一次尝试（任何一个计算出的区间），套环要么套中木桩，要么没套中。

真实总体均值（红色虚线）是固定的但未知。每条垂直线表示从不同随机样本计算出的一个95%置信区间。大多数区间（灰色线）包含真实均值，但偶尔（如样本16）会因随机抽样变动而错过它。在95%置信水平下，我们预期约每20个区间中会有1个纯粹因偶然原因而错过真实值。

什么影响置信区间的宽度？

置信区间的宽度让我们了解估算的精确度。较窄的区间表示更精确的估算，而较宽的区间则表示更多的不确定性。有三个主要因素影响宽度：

1. 置信水平： 如果我们希望有更高的把握（例如99%而不是95%），我们需要“撒一张更大的网”以更确定地捕捉真实参数。因此，更高的置信水平会带来更宽的区间。
2. 样本大小 ($n$)： 随着我们收集更多数据（增加样本大小），我们的估算变得更可靠，不确定性也会减少。因此，更大的样本大小会带来更窄的区间。
3. 数据变异性： 如果数据点本身分散程度很高（标准差大），就更难准确确定总体参数。样本数据中更高的变异性会导致更宽的区间。

置信区间比单独的点估算提供了更丰富的信息。它们为真实参数值提供了一个合理范围，并明确表达了与基于样本的估算相关的不确定性程度。这一认识对于理解统计学中的结果，以及评价基于样本数据训练或测试的机器学习模型的性能指标的稳妥性，都非常重要。