从数据中得出结论

我们来思考一下我们目前的位置。在前面的章节中，我们学习了如何获取数据集，并使用均值、中位数、方差等工具以及直方图等可视化方法来概括其主要特性。我们将此称为描述性统计。我们也研究了概率的规则，这有助于我们理解随机性和不确定性。

现在，我们经常面临这样的情况：我们拥有的数据只是一个更大整体中的一小部分。想象一下，您想了解一个国家所有互联网用户的典型下载速度。您可能无法测试每一个连接；那将是不切实际或不可能的。相反，您可能会测试几百或几千名用户的速度。您实际测量的这个较小群体被称为样本，而您感兴趣的整个群体（该国所有互联网用户）被称为总体。

核心问题是：我们如何利用样本中的信息（例如，我们测试过的用户的平均下载速度）来对整个总体（例如，该国所有人的平均下载速度）得出有意义的陈述？这是统计推断的主要任务。

统计推断提供了基于从样本收集的数据，对总体进行概括、预测或决策的方法。它关乎从简单地描述我们特定的数据点，到得出更普遍的结论。

从样本线索到总体真实情况

考虑您感兴趣的总体特征，例如真实的平均下载速度或实际的用户满意比例。这个总体真实的、通常未知的值被称为参数 (parameter)。例如，全国真实的平均下载速度就是一个总体参数。我们通常使用希腊字母来表示参数，例如总体均值用 $\mu$ (mu) 表示，总体比例用 $p$ 表示。

由于我们通常无法测量整个总体，因此我们会从样本中计算一个对应值。这个从样本数据计算出来的值被称为统计量。例如，从我们受测用户样本中计算出的平均下载速度就是一个样本统计量。我们通常使用普通字母，例如样本均值用 $\bar{x}$ (x-bar) 表示，样本比例用 $\hat{p}$ (p-hat) 表示。

推断的核心思想是使用统计量（来自我们的样本）的已知值，对对应参数（在总体中）的未知值进行基于信息的推测。

此图显示了总体与样本之间的关系。我们从样本计算统计量，以推断总体中未知的参数。

处理不确定性

统计推断的一个重要方面是承认并处理不确定性。如果您从同一个国家抽取不同的500名用户样本，您可能会得到一个略有不同的样本平均下载速度 ($\bar{x}$)。这种样本间的变动被称为抽样变异性。

因为我们的样本统计量 ($\bar{x}$) 取决于我们偶然抽取的具体样本而变动，所以它不太可能完全等于真实的总体参数 (parameter) ($\mu$)。因此，推断的一个重要部分不仅仅是进行推测，还要量化 (quantization)该推测的不确定性程度。我们想知道我们的样本统计量与总体参数有多接近。

与机器学习 (machine learning)的关联

这些原理是机器学习的根基。当您训练模型时，通常会使用一个训练数据集（一个样本）。然后，您会在一个单独的测试数据集（另一个样本）上评估其表现。您在测试集上计算的性能指标（例如，准确率、错误率）是一个统计量。

然而，您的真正目标是了解模型未来在新的、未见过的数据（总体）上的表现如何。统计推断有助于回答以下问题：

• 在测试集上测得的准确率是未来表现的可靠估计吗？
• 如果模型 A 在测试集上的准确率略高于模型 B，这种差异是真实的吗，还是仅仅由于数据点进入测试集的随机偶然性（抽样变异性）造成的？

在接下来的章节中，我们将介绍统计推断的主要工具：

1. 点估计：计算一个单一值统计量（如 $\bar{x}$）作为我们对总体参数 (parameter) ($\mu$) 的最佳推测。
2. 置信区间：提供一个可能包含真实总体参数的值范围，让我们了解不确定性。
3. 假设检验：建立一个正式的框架，用于基于样本证据对关于总体的主张作出决定。

理解推断使我们能够从数据中得出更可靠的结论，这对于构建和评估有效的机器学习模型非常必要。