连续分布的概率密度函数 (PDF)

概率质量函数 (PMF) 描述离散随机变量，例如三次掷硬币中正面朝上的次数。对于离散变量，可以列出所有可能的结果，并为每个结果指定一个特定的概率。PMF 给出 $P(X=x)$，即随机变量 $X$ 取精确值 $x$ 的概率。

但是，当变量可以在连续范围内取 任何 值时，会发生什么呢？考虑测量某人的精确身高、准确温度，或者某个过程完成所需的时间。这些都是连续随机变量。如果我们尝试为单个无限精确的值（例如 精确 到 175.0000... 厘米的身高）指定一个概率，那么这个概率实际上将是零。可能性实在太多了！

对于连续变量，我们不关注单个点的概率，而是讨论变量落入某个特定 区间 的概率。这就是 概率密度函数 (PDF) 的作用。

理解概率密度函数 (PDF)

PDF，通常记作 $f(x)$，是一个函数，它描述了连续随机变量取某个给定值的相对可能性。与 PMF 不同，PDF 在特定点 $x$ 上的值 $f(x)$ 本身 不是 概率。相反，PDF 曲线在两点之间（例如 $a$ 和 $b$ 之间）的 曲线下面积 代表了随机变量 $X$ 落入该区间 $[a, b]$ 的概率。

从数学上讲，这可以用积分表示：

$P(a \le X \le b) = \int_{a}^{b} f(x) dx$

如果你以前没有见过 $\int$ 符号或微积分，请不要担心。其重要思想是 面积 = 概率。对于我们将遇到的许多标准分布，我们不需要手动执行积分；我们可以使用表格或软件函数。

可以这样想：想象一个具有连续值的大型数据集的直方图。当你把直方图的条形（bins）变得越来越窄时，条形的顶部会开始形成一条平滑的曲线。这条平滑曲线就代表了 PDF。曲线上任何点的高度都表明了数值在哪里更密集地聚集。

PDF 的性质

一个有效的 PDF 必须满足两个主要性质：

1. 非负性： 密度函数对于 $x$ 的所有可能值必须始终大于或等于零。不可能出现负的可能性。 $f(x) \ge 0 \text{ 对于所有 } x$
2. 总面积为 1： 由于随机变量必然取 某个 值，因此 PDF 整个曲线下的总面积必须等于 1。这表示 100% 的概率。 $\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1$

理解 PDF

需要记住的是：

• 值 $f(x)$ 表示密度，而非概率。如果 $f(x)$ 的值高于 $f(y)$，这意味着变量在 $x$ 附近的小区间内出现的可能性比在 $y$ 附近同样大小的小区间内出现的可能性更大。对于某些分布，即使 $f(x)$ 的值可能大于 1，只要曲线下的总面积保持为 1，也是可能的。
• 对于连续变量 $X$，它取任何 单个特定 值的概率为零：$P(X = c) = 0$。这是因为在单个点处曲线下没有“面积”（从 $c$ 到 $c$ 的区间宽度为零）。这也意味着 $P(a \le X \le b)$ 与 $P(a < X < b)$ 相同。

我们将其可视化。考虑一个通用 PDF 曲线：

阴影区域表示概率 $P(2 \le X \le 4)$。该概率等于 $x=2$ 和 $x=4$ 之间蓝色曲线下的面积。曲线 $f(x)$ 的高度表明了值 $x$ 周围的概率密度。

PDF 与 PMF：快速比较

特征	PMF (离散)	PDF (连续)
适用范围	离散随机变量	连续随机变量
函数值	$P(X=x)$ (点概率)	$f(x)$ (点密度)
概率	集合上 PMF 值的求和	区间上 PDF 曲线下的面积（积分）
取值范围	$0 \le P(X=x) \le 1$	$f(x) \ge 0$ (可大于 1)
求和/积分	$\sum_{\text{所有 } x} P(X=x) = 1$	$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1$

理解 PDF 在处理机器学习 (machine learning)中的连续测量数据时非常重要。许多算法假定特征服从特定的分布（例如我们接下来将要了解的正态分布），PDF 允许我们有效地建模和处理这些连续量。它们帮助我们量化 (quantization)不确定性，并对连续结果进行概率表述。