使用 Python 从分布生成样本

通过生成遵循特定概率分布的数据，可以更实际地理解这些分布。Python 中的现代科学计算库，特别是 SciPy 和 NumPy，提供了强大的工具，用于从各种概率分布中生成随机数（样本）。这个过程通常称为 抽样。

抽样在许多任务中很有用，包括：

• 模拟随机过程。
• 直观了解分布的形态和表现。
• 检验统计方法或机器学习算法。
• 生成合成数据。

我们主要使用 scipy.stats 模块，它提供了一个处理分布的统一接口，包括使用 .rvs() 方法生成随机变量（样本）。我们也会偶尔提及 numpy.random 中等效的函数。

我们先导入必要的库。我们需要 scipy.stats 来处理分布，以及 matplotlib.pyplot（通常导入为 plt）来进行基本可视化，尽管我们将使用 Plotly 格式来呈现图表以实现交互式网页显示。我们还将使用 numpy 进行数值运算。

import numpy as np
from scipy import stats
import matplotlib.pyplot as plt # 我们使用这个，但输出 Plotly JSON

# 配置可视化（可选，有助于使 matplotlib 图表更好看）
# plt.style.use('seaborn-v0_8-whitegrid')

从离散分布生成样本

离散分布处理可计数的结果。我们将介绍伯努利分布和二项分布。

伯努利分布

伯努利分布对具有两种可能结果的单次试验进行建模：成功（通常编码为 1），概率为 $p$；失败（通常编码为 0），概率为 $1-p$。设想一次抛硬币。

要使用 scipy.stats 从伯努利分布生成样本，我们使用 stats.bernoulli.rvs()。主要参数是 $p$，即成功的概率。

# 参数
prob_success = 0.7  # 成功的概率（例如，正面）
num_samples = 10    # 要生成的试验（样本）数量

# 生成样本
# 每个样本为 0 或 1
bernoulli_samples = stats.bernoulli.rvs(p=prob_success, size=num_samples)

print(f"Bernoulli Samples (p={prob_success}): {bernoulli_samples}")

运行此代码可能会产生如下输出：Bernoulli Samples (p=0.7): [1 1 0 1 1 1 0 1 0 1]。每个数字代表一次试验的结果。如果生成大量样本，则 1 的比例应接近 $p$。

(等效的 NumPy 函数：np.random.binomial(1, p, size=num_samples))

二项分布

二项分布对固定数量 $n$ 次独立伯努利试验中成功的次数进行建模，每次试验成功的概率均为 $p$。例如，计算 10 次抛硬币中正面的数量。

我们使用 stats.binom.rvs()，指定 $n$（试验次数）和 $p$（每次试验成功的概率）。size 参数表示我们要运行此实验的次数（即，我们想要多少个成功计数的样本）。

# 参数
num_trials = 10     # 一次实验中的伯努利试验次数 (n)
prob_success = 0.5  # 每次试验成功的概率 (p)
num_experiments = 1000 # 我们运行实验的次数（生成样本）

# 生成样本
# 每个样本是 'n' 次试验中成功的计数
binomial_samples = stats.binom.rvs(n=num_trials, p=prob_success, size=num_experiments)

print(f"First 10 Binomial Samples (n={num_trials}, p={prob_success}): {binomial_samples[:10]}")
# 示例输出: 前 10 个二项样本 (n=10, p=0.5): [5 6 5 4 7 5 6 5 5 3]

输出中的每个数字代表一组 10 次试验中获得成功的总数。为了可视化这些计数的分布，我们可以创建一个直方图。

# 可视化（使用 Matplotlib 的代码）
# plt.figure(figsize=(8, 4))
# plt.hist(binomial_samples, bins=np.arange(num_trials + 2) - 0.5, density=True, alpha=0.7, color='#15aabf', edgecolor='black')
# plt.title(f'Binomial Distribution Samples (n={num_trials}, p={prob_success})')
# plt.xlabel('Number of Successes')
# plt.ylabel('Probability Density')
# plt.xticks(range(num_trials + 1))
# plt.grid(axis='y')
# plt.show()

# 实际用于直方图的 Plotly JSON 输出
hist_counts, bin_edges = np.histogram(binomial_samples, bins=np.arange(num_trials + 2) - 0.5, density=True)
bin_centers = 0.5 * (bin_edges[:-1] + bin_edges[1:])

从参数为 $n=10$ 次试验和成功概率 $p=0.5$ 的二项分布中提取的 1000 个样本的直方图。其形状接近理论的二项概率质量函数（PMF），中心在 $n \times p = 5$ 附近。

从连续分布生成样本

连续分布描述连续范围内的结果。

均匀分布

均匀分布将相等概率密度分配给指定范围 $[a, b)$ 内的所有结果。范围外的结果概率为零。

我们使用 stats.uniform.rvs()。它接受 loc（起点 $a$）和 scale（范围宽度 $b-a$）作为参数。

# 参数
lower_bound = 5.0   # 区间起点 (a)
upper_bound = 10.0  # 区间终点 (b)
num_samples = 1000

# 计算 loc 和 scale
loc_param = lower_bound
scale_param = upper_bound - lower_bound

# 生成样本
uniform_samples = stats.uniform.rvs(loc=loc_param, scale=scale_param, size=num_samples)

print(f"First 10 Uniform Samples (range=[{lower_bound}, {upper_bound})): {uniform_samples[:10]}")
# 示例输出: 前 10 个均匀样本 (范围=[5.0, 10.0)): [7.82 9.21 5.34 6.78 8.89 5.01 9.98 7.11 6.05 8.43]

(等效的 NumPy 函数：np.random.uniform(low=lower_bound, high=upper_bound, size=num_samples))

这些样本的直方图在区间 $[5, 10)$ 内应大致平坦。

# 可视化（使用 Matplotlib 的代码）
# plt.figure(figsize=(8, 4))
# plt.hist(uniform_samples, bins=20, density=True, alpha=0.7, color='#fd7e14', edgecolor='black')
# plt.title(f'Uniform Distribution Samples (range=[{lower_bound}, {upper_bound}))')
# plt.xlabel('Value')
# plt.ylabel('Probability Density')
# plt.grid(axis='y')
# plt.show()

# 实际用于直方图的 Plotly JSON 输出
hist_counts, bin_edges = np.histogram(uniform_samples, bins=20, density=True)
bin_centers = 0.5 * (bin_edges[:-1] + bin_edges[1:])

{"data": [{"type": "bar", "x": bin_centers.tolist(), "y": hist_counts.tolist(), "name": "样本密度", "marker": {"color": "#fd7e14", "line": {"color": "#495057", "width": 1}}}], "layout": {"title": {"text": "模拟均匀分布 (范围=[5, 10))"}, "xaxis": {"title": {"text": "值"}}, "yaxis": {"title": {"text": "估计密度"}}, "bargap": 0.05, "width": 600, "height": 400}}

从区间 $[5, 10)$ 上的均匀分布中提取的 1000 个样本的直方图。在此范围内，密度近似保持不变。

正态（高斯）分布

正态分布，常被称为钟形曲线，可能是最常见的连续分布。它的特点是均值（$\mu$，loc）和标准差（$\sigma$，scale）。该分布关于均值对称。

我们使用 stats.norm.rvs()，其中 loc 表示均值，scale 表示标准差。

# 参数
mean_val = 0.0      # 均值 (mu)
std_dev = 1.0       # 标准差 (sigma)
num_samples = 1000

# 生成样本
normal_samples = stats.norm.rvs(loc=mean_val, scale=std_dev, size=num_samples)

print(f"First 10 Normal Samples (mean={mean_val}, std_dev={std_dev}): {normal_samples[:10]}")
# 示例输出: 前 10 个正态样本 (均值=0.0, 标准差=1.0): [-0.54  1.25  0.21 -1.87  0.88 -0.76  0.33 -0.11 -0.45  1.05]

(等效的 NumPy 函数：np.random.normal(loc=mean_val, scale=std_dev, size=num_samples))

正态样本的直方图将显示其特有的钟形，中心位于均值。

# 可视化（使用 Matplotlib 的代码）
# plt.figure(figsize=(8, 4))
# plt.hist(normal_samples, bins=30, density=True, alpha=0.7, color='#4263eb', edgecolor='black')
# plt.title(f'Normal Distribution Samples (mean={mean_val}, std_dev={std_dev})')
# plt.xlabel('Value')
# plt.ylabel('Probability Density')
# plt.grid(axis='y')
# plt.show()

# 实际用于直方图的 Plotly JSON 输出
hist_counts, bin_edges = np.histogram(normal_samples, bins=30, density=True)
bin_centers = 0.5 * (bin_edges[:-1] + bin_edges[1:])

{"data": [{"type": "bar", "x": bin_centers.tolist(), "y": hist_counts.tolist(), "name": "样本密度", "marker": {"color": "#4263eb", "line": {"color": "#495057", "width": 1}}}], "layout": {"title": {"text": "模拟正态分布 (均值=0, 标准差=1)"}, "xaxis": {"title": {"text": "值"}}, "yaxis": {"title": {"text": "估计密度"}}, "bargap": 0.05, "width": 600, "height": 400}}

从标准正态分布（$\mu=0, \sigma=1$）中提取的 1000 个样本的直方图。该分布清楚地显示了以 0 为中心的特有钟形。

"能够从这些基本分布生成样本是一项实用技能。它允许你模拟反映这些模式特征的数据，为实验、假设检验以及理解依赖概率假设的机器学习模型的输入或输出提供了基础。随着遇到更复杂的分布，使用 SciPy 等库进行抽样的过程保持相似。"