练习：概率计算

让我们对您学过的基本概率、条件概率和独立性等知识点进行练习。练习这些例子将帮助您巩固如何计算和解释概率的认识。请记住，概率为量化 (quantization)不确定性提供了依据，这在机器学习 (machine learning)中是必不可少的。

问题1：投掷一枚公平骰子

假设您投掷一枚标准的、公平的六面骰子一次。样本空间，表示所有可能的结果，是 $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$。

让我们定义两个事件：

• 事件 A：投掷出偶数。$A = \{2, 4, 6\}$。
• 事件 B：投掷出大于4的数字。$B = \{5, 6\}$。

计算以下概率：

1. $P(A)$：投掷出偶数的概率。
2. $P(B)$：投掷出大于4的数字的概率。
3. $P(A \cap B)$：投掷出既是偶数又大于4的数字的概率。
4. $P(A \cup B)$：投掷出是偶数或者大于4的数字（或两者都是）的概率。

解答：

1. 计算 $P(A)$： 事件 A 有 3 个有利结果 $\{2, 4, 6\}$。总结果数为 6。 $P(A) = \frac{\text{事件 A 的结果数}}{\text{总结果数}} = \frac{3}{6} = 0.5$

2. 计算 $P(B)$： 事件 B 有 2 个有利结果 $\{5, 6\}$。总结果数为 6。 $P(B) = \frac{\text{事件 B 的结果数}}{\text{总结果数}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \approx 0.333$

3. 计算 $P(A \cap B)$： 我们需要同时属于 A 和 B 的结果。查看集合 $A = \{2, 4, 6\}$ 和 $B = \{5, 6\}$，它们唯一共享的结果是 6。因此，交集是 $A \cap B = \{6\}$。此事件有 1 个有利结果。 $P(A \cap B) = \frac{\text{事件 } A \cap B \text{ 的结果数}}{\text{总结果数}} = \frac{1}{6} \approx 0.167$

4. 计算 $P(A \cup B)$： 我们可以使用并集概率的公式：$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$。 $P(A \cup B) = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} - \frac{1}{6} = \frac{3 + 2 - 1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \approx 0.667$ 或者，我们可以找到并集 $A \cup B = \{2, 4, 5, 6\}$，它有 4 个结果。 $P(A \cup B) = \frac{\text{事件 } A \cup B \text{ 的结果数}}{\text{总结果数}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \approx 0.667$

问题2：从袋中抽取球（不放回）

一个袋子中有 8 个球：5 个红色 (R) 和 3 个蓝色 (B)。您从袋子中连续抽取两个球，不将第一个球放回。

计算以下概率：

1. $P(B_2 | R_1)$：在抽取的第一个球是红色的情况下，第二个球是蓝色的概率。
2. $P(R_1 \cap R_2)$：第一个球和第二个球都是红色的概率。

解答：

1. 计算 $P(B_2 | R_1)$： “在抽取的第一个球是红色 ($R_1$) 的情况下”意味着我们假设 $R_1$ 已经发生。当我们抽取第二个球时，袋子里现在只剩下 7 个球。由于第一个球是红色的，还剩下 4 个红球和 3 个蓝球。 在这种情况下，第二个球是蓝色 ($B_2$) 的概率是： $P(B_2 | R_1) = \frac{\text{剩余蓝球数}}{\text{剩余球总数}} = \frac{3}{7} \approx 0.429$

2. 计算 $P(R_1 \cap R_2)$： 这要求第一个球是红色并且第二个球也是红色的概率。我们可以使用条件概率的乘法法则：$P(R_1 \cap R_2) = P(R_1) \times P(R_2 | R_1)$。

   • 首先，求 $P(R_1)$：最初，总共有 8 个球，其中 5 个是红色。 $P(R_1) = \frac{5}{8}$
   • 接下来，求 $P(R_2 | R_1)$：这是在第一个球是红色的情况下，第二个球是红色的概率。如果第一个球是红色，则还剩下 7 个球，其中 4 个是红色。 $P(R_2 | R_1) = \frac{4}{7}$
   • 现在，将这些概率相乘： $P(R_1 \cap R_2) = P(R_1) \times P(R_2 | R_1) = \frac{5}{8} \times \frac{4}{7} = \frac{20}{56} = \frac{5}{14} \approx 0.357$

问题3：垃圾邮件过滤器分析

假设对 100 封电子邮件进行简单分析，根据它们是否被归类为垃圾邮件 (S) 或非垃圾邮件 (NS)，以及是否包含“discount”一词 (D) 或不包含 (ND)。结果总结如下：

	包含“discount” (D)	不包含“discount” (ND)	总计
垃圾邮件 (S)	20	10	30
非垃圾邮件 (NS)	5	65	70
总计	25	75	100

使用此数据，计算以下内容：

1. $P(S)$：此数据集中电子邮件是垃圾邮件的总体概率。
2. $P(D)$：电子邮件包含“discount”一词的总体概率。
3. $P(S|D)$：在电子邮件包含“discount”一词的情况下，它是垃圾邮件的概率。
4. 此数据集中，“电子邮件是垃圾邮件” (S) 和 “电子邮件包含‘discount’” (D) 这两个事件是否独立？解释原因。

解答：

1. 计算 $P(S)$： 从表中可以看出，100 封电子邮件中有 30 封是垃圾邮件。 $P(S) = \frac{\text{垃圾邮件总数}}{\text{电子邮件总数}} = \frac{30}{100} = 0.3$

2. 计算 $P(D)$： 从表中可以看出，100 封电子邮件中有 25 封包含“discount”一词。 $P(D) = \frac{\text{包含‘discount’的电子邮件总数}}{\text{电子邮件总数}} = \frac{25}{100} = 0.25$

3. 计算 $P(S|D)$： 这是在电子邮件包含“discount”的情况下，它是垃圾邮件的概率。我们只关注包含“discount”的电子邮件列（总共 25 封电子邮件）。在该组中，有 20 封是垃圾邮件。 $P(S|D) = \frac{\text{包含‘discount’的垃圾邮件数}}{\text{包含‘discount’的电子邮件总数}} = \frac{20}{25} = 0.8$ 或者，使用公式 $P(S|D) = P(S \cap D) / P(D)$： $P(S \cap D)$ 是电子邮件既是垃圾邮件又包含“discount”的概率，即 $20/100 = 0.2$。 $P(S|D) = \frac{0.2}{0.25} = \frac{20}{25} = 0.8$

4. 检查独立性： 如果 $P(S|D) = P(S)$，则两个事件 S 和 D 是独立的。

   • 我们计算得到 $P(S|D) = 0.8$。
   • 我们计算得到 $P(S) = 0.3$。 由于 $0.8 \neq 0.3$，因此在此数据集中，事件 S（电子邮件是垃圾邮件）和 D（电子邮件包含“discount”）是不独立的。了解到一封电子邮件包含“discount”会明显增加它是垃圾邮件的概率（从 30% 增加到 80%）。这种依赖性正是垃圾邮件过滤器尝试学习并加以运用的。

这些练习涵盖了简单概率的计算、并集法则的应用、通过连续事件（抽球）和列联表（电子邮件分析）理解条件概率，以及独立性检验。熟练掌握这些计算是转向机器学习 (machine learning)中更复杂的概率模型之前的一个必要步骤。