理解百分位数与四分位数

平均值和标准差等统计量能说明数据的中心和整体离散程度，但它们不能告诉我们某个特定数据点相对于其他数据点的位置。有时，我们想知道哪个值代表数据的底部25%，或者哪个值处于顶部10%。这时，百分位数和四分位数就成了描述数据分布中值位置的有用方法。

百分位数：数据点排序

假设你有一份按分数从低到高排列的班级考试成绩列表。百分位数是一种度量，它说明了总数据点中有多少百分比的值低于特定值。

例如，如果你的分数在第80百分位数，这意味着班级中80%的分数低于你的分数，而20%的分数高于你的分数。第50百分位数是50%的数据低于它的值——你可能已经知道，这便是我们之前讨论过的衡量集中趋势的中位数。

百分位数能为单个数据点提供背景信息，并帮助我们理解分布的形态。第10百分位数表示数据的下限，而第90百分位数表示数据的上限。

四分位数：将数据分为四等份

四分位数是特定的、常用的百分位数，它们将数据集分为四个相等的部分。可以将它们视为将已排序数据在25%、50%和75%处进行切割。

• 第一四分位数 (Q1)： 这是第25百分位数。25%的数据点小于或等于Q1。
• 第二四分位数 (Q2)： 这是第50百分位数。50%的数据点小于或等于Q2。如前所述，这与数据集的中位数完全相同。
• 第三四分位数 (Q3)： 这是第75百分位数。75%的数据点小于或等于Q3。

四分位数是统计学中用于描述数据分布位置的度量，包括Q1、Q2（中位数）和Q3。它们共同对数据分布进行了简明扼要的总结，说明了大部分值的所在区间。

四分位距 (IQR)：衡量中间离散程度

利用四分位数，我们可以计算另一种离散程度的度量，称为四分位距 (IQR)。它就是第三四分位数 (Q3) 与第一四分位数 (Q1) 之间的差值：

$$IQR = Q3 - Q1$$

IQR表示数据中间50%的范围。它为什么有用？与总范围（最大值 - 最小值）不同，IQR不受极端异常值的影响。如果你有一个非常高或非常低的值，它不会显著改变Q1或Q3，这使得IQR成为衡量偏斜数据集或含有异常值的数据离散程度的更可靠方法。

使用Python计算百分位数和四分位数

手动排序数据和查找百分位数是繁琐的。NumPy和Pandas等Python库使得这项工作变得简单。

使用NumPy： numpy.percentile()函数是常用的。你提供数据以及你想要的百分位数（值在0到100之间）。

import numpy as np

# 样本数据（例如，响应时间，单位毫秒）
response_times = np.array([120, 150, 155, 160, 175, 180, 190, 210, 230, 250, 300, 500])

# 计算第25百分位数 (Q1)
q1 = np.percentile(response_times, 25)

# 计算第50百分位数（中位数，Q2）
median = np.percentile(response_times, 50) # 或 np.median(response_times)

# 计算第75百分位数 (Q3)
q3 = np.percentile(response_times, 75)

# 计算IQR
iqr = q3 - q1

print(f"数据: {response_times}")
print(f"Q1 (第25百分位数): {q1}")
print(f"中位数 (第50百分位数): {median}")
print(f"Q3 (第75百分位数): {q3}")
print(f"IQR (Q3 - Q1): {iqr}")

使用Pandas： 如果你的数据在Pandas Series或DataFrame中，可以使用.quantile()方法。请注意，它预期分位数的值在0到1之间。.describe()方法也方便地包含了Q1 (25%)、中位数 (50%) 和Q3 (75%)。

import pandas as pd

# Sample data in a Pandas Series
response_times_pd = pd.Series([120, 150, 155, 160, 175, 180, 190, 210, 230, 250, 300, 500])

# Calculate specific quantiles
q1_pd = response_times_pd.quantile(0.25)
median_pd = response_times_pd.quantile(0.50) # Or response_times_pd.median()
q3_pd = response_times_pd.quantile(0.75)
iqr_pd = q3_pd - q1_pd

print(f"\n使用Pandas：")
print(f"Q1 (第25百分位数): {q1_pd}")
print(f"中位数 (第50百分位数): {median_pd}")
print(f"Q3 (第75百分位数): {q3_pd}")
print(f"IQR (Q3 - Q1): {iqr_pd}")

# Using .describe() for a summary including quartiles
print("\nPandas describe() 输出：")
print(response_times_pd.describe())

解释四分位数：一个例子

我们来看看response_times的例子结果（NumPy和Pandas由于插值方法不同，结果略有差异，但道理一致。这里我们使用NumPy的结果：Q1=158.75，中位数=185.0，Q3=235.0）。

• Q1 = 158.75 毫秒： 25%的响应时间小于或等于158.75毫秒。
• 中位数 (Q2) = 185.0 毫秒： 一半的响应时间低于185毫秒，一半高于185毫秒。
• Q3 = 235.0 毫秒： 75%的响应时间小于或等于235.0毫秒。这也表示响应时间中最高的25%的值高于235.0毫秒。
• IQR = 76.25 毫秒 (235.0 - 158.75)： 中间50%的响应时间落在76.25毫秒的范围内，具体在158.75毫秒到235.0毫秒之间。

这比仅有平均值或标准差能提供更清晰的整体情况。我们可以看到集中趋势（中位数）和大部分数据的离散程度（IQR），这有助于我们发现潜在的偏斜或不寻常的值（例如500毫秒的响应时间）。

这里是一个简单的可视化，显示了四分位数如何划分数据点：

样本响应时间的直方图，带有垂直线，显示第一四分位数 (Q1)、中位数 (Q2) 和第三四分位数 (Q3)。开始、Q1、中位数、Q3和结束之间的每个部分理想情况下包含25%的数据点（尽管分箱效应可能会改变每条柱的精确计数）。

理解百分位数和四分位数能让你对数据分布有更细致的认识。它们是基本知识点，直接用于创建和解读箱线图等可视化图表，我们将在下一步讨论。