衡量中心：均值、中位数和众数

在分析数据集时，我们首先想了解的事情之一是它的“中心”或能代表数据的典型值。数据点倾向于聚集在哪里？集中趋势的度量提供了这些信息。最常见的三个度量是均值、中位数和众数。每个度量都从不同角度展现数据中心，理解它们的区别对于准确解释数据很重要。

均值（平均值）

均值，通常称为平均值，是最常用的集中趋势度量。它通过将数据集中所有值求和，然后除以值的数量来计算。

对于一个包含 $n$ 个值的数列 $x_1, x_2, \ldots, x_n$，样本均值通常记作 $\bar{x}$（读作“x拔”），计算方式如下：

$$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$$

示例： 考虑5个人的年龄：22, 25, 21, 30, 22。 计算平均年龄：

$$\bar{x} = \frac{22 + 25 + 21 + 30 + 22}{5} = \frac{120}{5} = 24$$

平均年龄为24岁。

何时使用均值： 当数据分布大致对称且没有极端值（异常值）时，均值是衡量中心的好度量。

对异常值的敏感性： 均值的一个重要缺点是它对异常值敏感。异常值是指与其他观测值显著不同的数据点。让我们将示例中年龄30改为90（可能是数据录入错误）：22, 25, 21, 90, 22。 新的平均值为：

$$\bar{x} = \frac{22 + 25 + 21 + 90 + 22}{5} = \frac{180}{5} = 36$$

平均值从24跳到36，这比组内大多数年龄都要高。单个异常值严重影响了均值，使其可能不太能代表典型年龄。

中位数

中位数是经过从小到大排序的数据集中的中间值。它将数据分成相等的两半：50%的数据点低于中位数，50%高于中位数。

计算方法：

1. 排序数据： 将数据点按升序排列。
2. 找到中间值：
   • 如果数据点数量 ($n$) 为奇数，中位数是中间值。它的位置是 $\frac{n+1}{2}$。
   • 如果数据点数量 ($n$) 为偶数，中位数是两个中间值的平均值。它们的位置是 $\frac{n}{2}$ 和 $\frac{n}{2} + 1$。

示例（$n$ 为奇数）： 使用原始年龄数据：22, 25, 21, 30, 22。

1. 排序数据：21, 22, 22, 25, 30。
2. 找到中间值（$n=5$，位置是 $\frac{5+1}{2} = 3$）。第3个值是22。 中位年龄为22岁。

示例（$n$ 为偶数）： 考虑四个年龄：21, 22, 25, 30。

1. 数据已排序。
2. 找到中间值（$n=4$，位置是 $\frac{4}{2}=2$ 和 $\frac{4}{2}+1=3$）。第2个值是22，第3个值是25。
3. 计算两个中间值的平均值：$\frac{22 + 25}{2} = 23.5$。 中位年龄为23.5岁。

何时使用中位数： 中位数在处理偏斜分布或包含异常值的数据集时特别有用。因为它只取决于中间值，所以不受分布两端极端值的影响。

对异常值的抗性： 让我们回顾异常值的示例：21, 22, 22, 25, 90（已排序的年龄）。 中位数仍然是第3个值，即22。异常值（90）没有改变中位数，这使得它在这种情况下比均值（36）更能可靠地度量集中趋势。

众数

众数是数据集中出现频率最高的值。

计算方法： 只需计算每个值的出现次数。出现次数最多的值就是众数。

示例： 使用原始年龄数据：22, 25, 21, 30, 22。 值22出现两次，比其他任何年龄都多。众数为22。

特点：

• 多个众数： 如果多个值拥有最高的出现频率，一个数据集可以有一个以上的众数（如果两个众数则为双峰，如果两个以上则为多峰）。示例：1, 1, 2, 3, 3, 4。众数为1和3。
• 无众数： 如果所有值出现频率相同（通常只出现一次），则数据集没有众数。示例：1, 2, 3, 4, 5。
• 分类数据： 众数是唯一可用于分类数据（代表类别的数据，例如颜色或类型）的集中趋势度量。示例：颜色 [Red, Blue, Blue, Green, Red, Blue]。众数为蓝色。

何时使用众数： 众数用于识别数据集中最常见的类别或值，特别适用于分类数据或有限数量的离散数值数据。与均值或中位数相比，它作为连续数值数据的主要中心度量较少使用。

均值、中位数、众数：快速比较

度量	计算方法	用途	对异常值的敏感性	适用数据类型
均值	求和 / 计数	对称数据，无异常值	高	数值型
中位数	中间值（排序数据）	偏斜数据，含异常值数据	低	数值型（序数型）
众数	最常出现的值	分类数据，找到最常见值	低	数值型，分类型

均值和中位数之间的关系也可以提供关于数据分布形状的线索：

• 对称分布： 均值 ≈ 中位数 ≈ 众数。
• 右偏分布（尾部向右）： 均值 > 中位数。异常值将均值拉高。
• 左偏分布（尾部向左）： 均值 < 中位数。异常值将均值拉低。

原始年龄数据集 [21, 22, 22, 25, 30] 的分布。中位数和众数均为22，而均值略高，为24，被较大的值30拉高。

选择合适的度量取决于你的数据性质和你试图回答的问题。理解这三者能更全面地展现数据的集中趋势。在接下来的章节中，我们将讨论如何度量围绕该中心的数据离散程度或变异性。