分位数损失函数实现

如前所述，标准回归方法通常侧重于预测目标变量的条件均值。然而，分位数回归使我们能够对条件分位数（例如中位数、第10百分位数或第90百分位数）进行建模，对预测变量与目标变量分布之间的关系提供了更全面的认识。为了使用梯度提升进行分位数回归，我们需要定义并实施合适的损失函数 (loss function)：即分位数损失，也称作弹珠损失。

分位数损失函数 (loss function)

针对特定分位数 $\alpha \in (0, 1)$ 的分位数损失函数衡量真实值 $y$ 与预测分位数 $\hat{y}$ 之间的误差。其定义为：

$$L_\alpha(y, \hat{y}) = \begin{cases} \alpha (y - \hat{y}) & \text{如果 } y - \hat{y} > 0 \\ (1 - \alpha) (\hat{y} - y) & \text{如果 } y - \hat{y} \le 0 \end{cases}$$

这可以使用指示函数 $I(\cdot)$ 更简洁地表示：

$$L_\alpha(y, \hat{y}) = (y - \hat{y}) (\alpha - I(y - \hat{y} < 0))$$

请注意其不对称性：

• 当 $\alpha = 0.5$（中位数）时，损失函数简化为 $0.5 |y - \hat{y}|$，这与平均绝对误差 (MAE) 成比例。低估（$\hat{y} < y$）的惩罚等于高估（$\hat{y} > y$）的惩罚。
• 当 $\alpha > 0.5$ 时，损失函数对低估（$y > \hat{y}$）的惩罚比高估更重。这促使模型预测更高的值，对应于上分位数。
• 当 $\alpha < 0.5$ 时，损失函数对高估（$y < \hat{y}$）的惩罚更重，将预测推向更低的分位数。

下图展示了不同 $\alpha$ 值下的弹珠损失。

该图显示了分位数损失特有的“弹珠”形状。请注意斜率在零误差处如何变化，以及不对称性如何取决于分位数 $\alpha$。对于 $\alpha=0.9$，正误差（低估）受到更重的惩罚，而对于 $\alpha=0.1$，负误差（高估）则受到更大的惩罚。$\alpha=0.5$ 对正负误差对称处理。

提升算法中的梯度与Hessian

梯度提升算法通过迭代地将基础学习器（通常是树）拟合到损失函数 (loss function)相对于当前预测的负梯度。因此，我们需要 $L_\alpha(y, \hat{y})$ 相对于 $\hat{y}$ 的一阶导数（梯度）。XGBoost 和 LightGBM 等一些高级实现也使用二阶导数（Hessian）来实现更快的收敛和正则化 (regularization)。

让我们找出梯度：

$$g = \frac{\partial L_\alpha(y, \hat{y})}{\partial \hat{y}} = I(y - \hat{y} < 0) - \alpha = I(\hat{y} > y) - \alpha$$

因此，梯度为：

• $-\alpha$，如果 $\hat{y} \le y$（低估或正确预测）
• $1 - \alpha$，如果 $\hat{y} > y$（高估）

现在，考虑 Hessian：

$$h = \frac{\partial^2 L_\alpha(y, \hat{y})}{\partial \hat{y}^2} = \frac{\partial g}{\partial \hat{y}}$$

梯度是一个阶跃函数，这意味着它的导数在除 $\hat{y} = y$ 点之外的所有地方都为零，而在 $\hat{y} = y$ 点处，导数是未定义的（数学上，它涉及一个狄拉克δ函数）。标准的梯度提升实现，特别是那些使用二阶近似（如 XGBoost）的实现，需要一个明确定义的 Hessian。

我们如何处理这个问题？

1. 内置目标函数： 像 LightGBM 这样的库通常对分位数回归有内置支持（objective='quantile'）。在这种情况下，库在内部处理 Hessian，可能使用近似值或适用于非平滑目标函数的特定算法。如果可用，使用内置目标函数通常是推荐的方法。
2. 自定义目标函数 - 近似 Hessian： 当定义自定义目标函数时，您必须为每个数据点返回梯度和 Hessian 值。由于真实的 Hessian 存在问题，常见的做法是为 Hessian 返回一个小的正常量（例如 1，或更小的值如 1e-6）。这提供了数值稳定性，并允许算法（通常使用 $g/h$ 或类似项）继续执行。虽然它并非严格意义上的真实二阶导数，但在实践中通常效果良好。
3. 自定义目标函数 - 零 Hessian： 一些框架可能允许或隐式处理零 Hessian，从而有效地回退到那些步骤的一阶梯度方法。然而，在期望二阶信息的库中，明确提供一个小的正值通常更有效。

实现自定义分位数目标函数

让我们看看如何在 Python 中为 XGBoost 或 LightGBM 等库构建自定义分位数损失函数 (loss function)。这些库期望一个函数，该函数接收当前预测值 (preds) 和真实标签 (dtrain，其中包含 y)，并为每个样本返回梯度和 Hessian。

以下是自定义分位数目标函数的 Python 函数结构：

import numpy as np

def quantile_objective(alpha):
    """
    分位数回归的自定义目标函数。

    参数：
    alpha (浮点数): 目标分位数，必须在 (0, 1) 之间。

    返回值：
    可调用对象：一个与 XGBoost/LightGBM 自定义目标函数兼容的函数。
    """
    def objective_function(preds, dtrain):
        """
        计算分位数损失的梯度和 Hessian。

        参数：
        preds (np.ndarray): 当前模型预测。
        dtrain: 数据容器（例如 xgboost.DMatrix 或 lightgbm.Dataset）
                通过 dtrain.get_label() 获取真实标签。

        返回值：
        grad (np.ndarray): 损失函数相对于 preds 的梯度。
        hess (np.ndarray): 损失函数相对于 preds 的 Hessian。
        """
        labels = dtrain.get_label()
        errors = preds - labels # 注意：使用 preds - labels 与 I(preds > y) 约定一致

        # 计算梯度
        grad = np.where(errors > 0, 1 - alpha, -alpha)

        # 计算 Hessian（使用小的常数近似）
        # 一个小的正常量有助于确保算法的稳定性。
        # 具体值可能需要调整或实验。
        hess = np.full_like(preds, 1.0) # 或者更小的值，如 1e-6

        return grad, hess
    return objective_function

# 示例用法
# alpha_value = 0.75 # 目标是第75百分位数
# custom_obj = quantile_objective(alpha_value)

# 在 XGBoost 中：
# model = xgb.train(params, dtrain, num_boost_round=100, obj=custom_obj)

# 在 LightGBM 中：
# model = lgb.train(params, dtrain, num_boost_round=100, fobj=custom_obj)

重要考量：

• 库支持： 务必查阅所选库（XGBoost、LightGBM、CatBoost）的文档。它们可能提供内置的分位数回归目标函数（例如 LightGBM 中带有 alpha 参数 (parameter)的 objective='quantile'），这些函数通常经过优化，比自定义实现更受青睐。CatBoost 也支持分位数损失函数。
• Hessian 近似： 在自定义目标函数中选择 Hessian 的常数值有时会影响收敛速度和稳定性。如果使用自定义实现，您可以尝试不同的小的正值（例如 1.0, 0.1, 1e-3, 1e-6）。
• 调整 $\alpha$： 如果您根据领域知识或问题要求尝试建模特定分位数，分位数级别 $\alpha$ 被视为一个超参数 (hyperparameter)。如果需要建模多个分位数，通常会为每个所需 $\alpha$ 训练单独的模型。
• 评估指标： 在训练分位数回归模型时，像 RMSE（侧重于均值）这样的标准指标不适合用于评估。请使用与分位数相关的指标，例如在验证集上的分位数损失本身，或者在预测区间时使用 Winkler 分数等指标。您可能还需要实现自定义评估指标（在第 7 章中介绍）。

通过实施或使用分位数损失函数，您可以使梯度提升模型具备超越均值预测、估计条件分位数的能力，从而为各种特殊任务提供对底层数据分布更丰富、更全面的认识。