收缩（学习率）的作用

梯度提升算法在加性框架内运行，它按顺序构建模型，在每个步骤中添加一个基本学习器（通常是决策树）来纠正现有集成模型所犯的错误。第 $m$ 步的更新规则通常表述为：

$$F_m(x) = F_{m-1}(x) + h_m(x)$$

这里，$F_{m-1}(x)$ 是在前面 $m-1$ 步中构建的模型集成，$h_m(x)$ 是一个新的基本学习器，训练它来拟合损失函数 (loss function)相对于 $F_{m-1}(x)$ 的负梯度（伪残差）。

虽然这看起来很简单，但在每个步骤中添加新训练的树 $h_m(x)$ 的完整预测可能过于激进。如果一棵树完美拟合当前的伪残差，它可能会过度拟合该阶段存在的特定错误，这可能损害模型对未见数据进行泛化的能力。此时，收缩（也称为学习率）就发挥作用了。

收缩引入了一个缩放因子，通常用 $\eta$ (eta) 或有时用 $\nu$ (nu) 表示，它减少了添加到集成模型中每棵新树的贡献。修改后的更新规则变为：

$$F_m(x) = F_{m-1}(x) + \eta h_m(x)$$

其中 $0 < \eta \le 1$。

收缩的正则化 (regularization)作用

收缩的主要目的是正则化。通过减少每棵树的影响（$\eta < 1$），我们减缓了学习过程。收缩不是让一棵树根据当前伪残差进行大的修正，而是强制模型在函数空间中迈出更小的步长，以使损失最小化。

考虑以下含义：

1. 方差减小： 每棵树对最终预测的影响较小。这使得整体模型对用于任何单棵树的特定训练数据不那么敏感，从而减小了方差并提升了泛化能力。
2. 所需树的数量增加： 由于每棵树的贡献较小，通常需要更多的树（提升迭代次数，n_estimators）才能在训练数据上达到与没有收缩的模型（$\eta = 1$）相似的性能水平。
3. 泛化能力提升（通常）： 较慢的学习过程使后续树能够更渐进地完善预测。这通常可以防止模型过快地收敛到过度拟合训练数据的解决方案，从而在未见过的验证或测试数据上获得更好的性能。

可以将其看作梯度下降 (gradient descent)优化。GBM 中的学习率 $\eta$ 的作用类似于数值优化算法中的步长。较小的步长需要更多的迭代才能达到最小值，但可以帮助避免越过最优解点，并且可能找到一个更好、更稳定的最小值，尤其是在复杂的损失函数 (loss function)场景中。

权衡：学习率与估计器数量

学习率（$\eta$）与提升迭代次数（$M$ 或 n_estimators）之间存在固有的权衡。

• 一个非常小的 $\eta$（例如 0.01）需要大的 $M$（例如数千次）才能充分拟合数据。训练时间更长，但生成的模型可能泛化能力更好。
• 一个较大的 $\eta$（例如 0.5 或 1.0）需要较少的迭代次数 $M$（例如数十次或数百次）。训练速度更快，但过拟合 (overfitting)的风险会显著增加，尤其是在未仔细管理其他正则化 (regularization)方法（如树深度约束）的情况下。

以下图表展示了这一观念。学习率较低时，训练误差和验证误差都会下降得更慢，但与学习率较高的情况相比，验证误差通常会达到更低的最小值或更晚开始增加（表明过拟合的出现）。

不同学习率下误差曲线的比较。较小的学习率（例如 0.1）收敛较慢，但在过拟合发生前，与较大的学习率（例如 0.5）相比，可能实现更好的泛化（更低的验证误差）。最优估计器数量差异很大。

实际考量

• 典型值： 学习率通常设定在 $[0.01, 0.3]$ 范围内。一个常见的起始点是 0.1。
• 调优： 学习率是 GBM 最重要的超参数 (parameter) (hyperparameter)之一，通常与 n_estimators 协同调优。常用网格搜索、随机搜索或贝叶斯优化等技术，通常通过交叉验证来评估性能。早期停止经常被用来为给定的学习率找到最优迭代次数。
• 与其他参数的相互作用： 收缩与其他正则化 (regularization)参数相互作用。例如，较小的学习率可能允许略深一些的树（max_depth）或不那么激进的子采样（subsample），而不会立即过拟合 (overfitting)，因为每棵潜在更复杂树的影响都被减弱了。

总而言之，收缩是一种简单而高效的梯度提升模型正则化技术。通过缩小每棵新加入树的贡献，它能防止单棵树主导预测，促使模型利用更多的提升轮次来实现更精细的拟合，并显著提升模型对新数据的泛化能力。在学习率和估计器数量之间找到合适的平衡是构建高性能 GBM 的基本组成部分。