权重更新矩阵的分解

LoRA假说提出，针对新任务调整预训练 (pre-training)权重 (weight)矩阵 $W$ 所需的改变，可以通过低秩结构有效表示。LoRA不是直接训练可能很大的更新矩阵 $\Delta W$，而是将这个更新分解为两个较小的矩阵 $B$ 和 $A$。

考虑我们大型语言模型（LLM）中某层的原始权重矩阵 $W \in \mathbb{R}^{d \times k}$（例如，自注意力 (self-attention)或前馈网络中的线性层）。全量微调 (fine-tuning)方法会更新 $W$ 中的所有 $d \times k$ 个参数 (parameter)。LoRA通过保持 $W$ 不变并引入两个新矩阵来避免这种情况：

• $A \in \mathbb{R}^{r \times k}$
• $B \in \mathbb{R}^{d \times r}$

这里，$r$ 是分解的秩，它是选择的超参数 (hyperparameter)，使得 $r \ll \min(d, k)$。原始权重更新 $\Delta W$ 随后通过这两个矩阵的乘积进行近似：

$\Delta W \approx BA$

注意尺寸：矩阵 $B$（$d \times r$）与矩阵 $A$（$r \times k$）相乘得到一个原始尺寸 $d \times k$ 的矩阵，适合作为 $W$ 的更新。

修改后的前向传播

在微调 (fine-tuning)过程中，层的正向传播被修改。对于输入 $x \in \mathbb{R}^{k}$，原始计算是 $h = Wx$。使用LoRA后，输出 $h \in \mathbb{R}^{d}$ 变为：

$h = Wx + \Delta W x = Wx + BAx$

值得注意的是，预训练 (pre-training)权重 (weight) $W$ 在训练期间不会更新。只有尺寸小得多的矩阵 $A$ 和 $B$ 的参数 (parameter)得到优化。这大大减少了可训练参数的数量。

The LoRA技术引入了一个缩放因子 $\alpha$。包含此缩放的修改后前向传播通常写为：

$h = Wx + \frac{\alpha}{r} BAx$

这里，$\alpha$ 是另一个超参数 (hyperparameter)，它缩放LoRA更新的贡献。除以秩 $r$ 有助于规范更新的量级，使 $\alpha$ 的影响对 $r$ 的选择依赖性降低。本质上，$\alpha$ 控制了调整后的模型与原始模型的偏离程度。

参数 (parameter)效率

效率提升源于可训练参数的大幅减少。我们不再训练 $\Delta W$ 的 $d \times k$ 个参数，而只训练 $A$ 和 $B$ 中的参数。

LoRA中的总可训练参数 = 参数(A) + 参数(B) = $(r \times k) + (d \times r) = r(d + k)$。

考虑一个典型的，其中 $d = k = 4096$ 的大型线性层。

• $W$（或 $\Delta W$）中的参数数量：$4096 \times 4096 = 16,777,216$。
• LoRA中 $r=8$ 时的参数数量：$8 \times (4096 + 4096) = 8 \times 8192 = 65,536$。

在这个例子中，相较于该单一层的全量微调 (fine-tuning)，LoRA仅需训练约 $0.39\%$ 的参数（即 $65,536 / 16,777,216$）。这种减少非常显著，尤其当应用于大型模型中的多个层时，带来内存（用于优化器状态、梯度）的大幅节省和潜在更快的训练迭代。

初始化

LoRA矩阵的恰当初始化对于训练稳定性很重要。一种常见做法是：

1. 使用随机高斯值初始化 $A$。
2. 用零初始化 $B$。

这保证了在训练开始时（$t=0$），乘积 $BA$ 为零。因此，初始的LoRA适应模型行为与原始预训练 (pre-training)模型（$\Delta W = 0$）完全相同，为适应过程提供了一个稳定的起点。

数据流的可视化

我们可以可视化LoRA调整层中的数据流，它如何修改线性层的标准前向传播。

LoRA调整层中的数据流。输入 x 经过原始冻结权重 (weight)矩阵 W。同时，x 也由低秩矩阵 A 和 B 处理，随后进行缩放。这两条路径的输出随后相加，生成最终输出 h。

这种分解使得LoRA能够高效地调整大型模型，通过将学习过程集中在一组小的、精心构造的参数 (parameter)上，这些参数近似于对原始权重所需的改变。后续部分将介绍实用方面，例如选择秩 $r$ 和缩放因子 $\alpha$。