理解回归预测

让我们完善对回归模型进行预测时所发生情况的认识。如本章引言所述，回归任务涉及预测连续的数值。请考虑预测以下内容：

• 根据房屋特征（大小、位置、卧室数量）预测房价。
• 根据历史天气数据预测明日气温。
• 根据过往表现和营销支出预测下一季度的预期销售收入。

在每种情况下，模型接收一些输入信息，并输出一个单一的数字，这是它对我们感兴趣的数量的最佳猜测。

预测值与实际值

对于任何给定的输入实例（例如，特定房屋或某一天气模式），有两个我们关注的值：

1. 预测值 ($\hat{y}$)： 这是我们训练好的回归模型生成的输出。它是模型对目标变量的估计。我们通常在变量（$y$）上使用“帽子”符号（$\hat{}$）来表示预测值。
2. 实际值 ($y$)： 这是该实例的真实观测值。这是我们希望模型能预测到的正确答案（例如，房屋的实际售价，记录的实际温度）。

理想情况下，预测值 $\hat{y}$ 会与实际值 $y$ 完全相等。然而，在实际中，模型很少是完美的。预测值与实际情况之间几乎总会有一些差异。

理解预测误差

实际值与预测值之间的这种差异被称为误差或有时称为残差。我们简单地计算它为：

$$\text{误差} = \text{实际值} - \text{预测值}$$ $$e = y - \hat{y}$$

正误差表示模型预测过低。负误差表示预测过高。误差为零表示该特定实例的预测是完美的。

让我们看一个简单的例子：根据面积预测公寓租金。

• 实例 1：
  • 面积：500 平方英尺
  • 实际租金 ($y$)：$1200
  • 模型预测 ($\hat{y}$)：$1150
  • 误差：$1200 -$1150 = $50（模型预测过低）
• 实例 2：
  • 面积：800 平方英尺
  • 实际租金 ($y$)：$1800
  • 模型预测 ($\hat{y}$)：$1850
  • 误差：$1800 -$1850 = -$50（模型预测过高）
• 实例 3：
  • 面积：650 平方英尺
  • 实际租金 ($y$)：$1400
  • 模型预测 ($\hat{y}$)：$1400
  • 误差：$1400 -$1400 = $0（模型预测完美）

"模型会犯错，因为数据复杂且通常包含固有的随机性或“噪声”。此外，模型通常是对现实的简化。它们从训练数据中学习模式，但这些模式可能无法完美捕捉在新、未见数据上进行精确预测所需的所有细节。"

评估回归模型的目的不一定是在每一个预测上都达到零误差（这通常是不可能的），而是要理解这些误差在整个数据集中的典型大小和特点。

下图说明了这一道理。蓝色点表示实际数据点（例如，实际租金与面积）。橙色线表示简单线性回归模型做出的预测。垂直灰色线显示了每个点的误差（或残差）——即实际值（点）与预测值（线上点）之间的距离。

一个简单的线性回归模型，尝试根据单一特征预测目标值。蓝色点是实际数据点，橙色线显示模型的预测，虚线灰色线表示每个点的预测误差（残差）。

当我们使用测试集（模型在训练期间未见过的数据）评估模型时，我们计算每个预测的误差。由于我们会有许多误差（测试集中每个实例一个），我们需要方法将它们总结为有意义的性能指标。这就是像平均绝对误差（MAE）、均方误差（MSE）、均方根误差（RMSE）和 R-平方 ($R^2$) 这样的指标的作用。它们提供了不同的方法来量化我们回归模型的整体准确性和有效性，我们将在后续部分进行讨论。