平均绝对误差 (MAE)

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什么是平均绝对误差 (MAE)？

在评估回归模型时，我们的首要目标是弄清楚模型的预测与实际值之间存在多大偏差。一种直接的衡量方法就是平均绝对误差，简称 MAE。

假设您的模型预测房价。对于一套房屋，模型预测价格为 25 万美元，但实际售价为 26 万美元。误差是 1 万美元（26 万美元 - 25 万美元）。对于另一套房屋，模型预测价格为 31 万美元，但实际售价为 30.5 万美元。这里的误差是 -5 千美元（30.5 万美元 - 31 万美元）。

如果我们直接对这些误差（1 万美元和 -5 千美元）取平均值，正负值可能会相互抵消，从而给出整体表现的误导性信息。为避免这种情况，MAE 使用每个误差的绝对值。绝对误差只是误差的大小，不考虑其正负号。因此，我们示例中的绝对误差分别是 $|10,000| = 10,000$ 和 $|-5,000| = 5,000$ 。

MAE 接着计算您的测试数据集中所有预测的这些绝对误差的平均值。它平均地告诉您，无论预测值是过高还是过低，您的预测与真实值之间的偏差有多大。

计算 MAE

MAE 的公式是：

MAE = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} |y_i - \hat{y}_i|

我们来分解一下这个公式：

$n$ 是测试集中的数据点总数。
$y_i$ 是第 $i$ 个数据点的实际真实值。
$\hat{y}_i$ （读作“y-hat”）是模型对第 $i$ 个数据点的预测值。
$|y_i - \hat{y}_i|$ 是该数据点实际值与预测值之间的绝对差（绝对误差）。
$\sum_{i=1}^{n}$ 表示我们将所有数据点（从第一个 $i=1$ 到最后一个 $i=n$ ）的这些绝对差加起来。
$\frac{1}{n}$ 表示我们将总和除以数据点的数量，从而得到平均值。

示例计算

我们来看一个小例子。假设我们有一个包含 4 个数据点的测试集，我们的模型对目标变量（如摄氏温度）做出以下预测：

| 数据点 | 实际值 ( $y_i$ ) | 预测值 ( $\hat{y}_i$ ) | 误差 ( $y_i - \hat{y}_i$ ) | 绝对误差 ( $|y_i - \hat{y}_i|$ ) | | :--------- | :------------------- | :---------------------------- | :------------------------ | :------------------------------------ | | 1 | 22 | 24 | -2 | 2 | | 2 | 15 | 14 | 1 | 1 | | 3 | 30 | 27 | 3 | 3 | | 4 | 19 | 20 | -1 | 1 |

现在，我们应用 MAE 公式：

计算绝对误差： 我们已在表格中完成此项：2、1、3、1。
求绝对误差之和： $2 + 1 + 3 + 1 = 7$ 。
除以数据点数量 ( $n=4$ )： $MAE = \frac{7}{4} = 1.75$ 。

因此，该模型在这个小型测试集上的 MAE 为 1.75。

示例中计算的四个数据点的绝对误差。MAE 代表这些柱子的平均高度。

理解 MAE

MAE 值直接衡量了目标变量原始单位中平均预测误差的大小。在我们的例子中，MAE 是 1.75 摄氏度。这意味着，平均而言，模型的温度预测与实际值相差 1.75 摄氏度，无论方向（过高或过低）。

越低越好： 较低的 MAE 通常表示模型拟合度越好，因为预测值平均而言更接近实际值。MAE 为 0 则表示完美预测。
背景决定： MAE 为 1.75 是好是坏？这完全取决于具体情况。如果您预测的是日温度，其值范围从 -10°C 到 40°C，那么平均 1.75°C 的误差可能相当不错。然而，如果您预测的是人体温度，正常值在 37°C 左右，而微小偏差都具有很大的影响，那么 1.75°C 的 MAE 将非常糟糕。请务必将 MAE 与目标变量的范围和量级进行比较。

MAE 的特点

MAE 具有一些显著的特点：

易于理解： 其主要优点在于易于理解。它直接对应您所关注单位（美元、千克、分数等）中的平均误差大小。
对异常值不敏感： 因为 MAE 使用绝对差值，所以它不像对误差进行平方的指标（例如我们接下来将讨论的均方误差 MSE）那样，对大误差（异常值）给予过高的权重 (weight)。一次非常糟糕的预测对 MAE 的影响远不如对 MSE 的影响那么剧烈。如果您不希望异常值主导评估指标，或者您的数据集中包含您不想过度惩罚的已知异常情况，这会很有用。

然而，它线性处理所有误差（10 美元的误差贡献是 5 美元误差的两倍）这一事实，如果您应用中特别担心大误差，可能就不那么理想。在您需要强烈惩罚大偏差的情况下，MSE 或 RMSE 等其他指标可能更合适。

总的来说，MAE 提供了一种清晰、易于理解的平均预测误差衡量方法，是理解回归模型表现的有用工具，尤其当你偏好对异常预测不那么敏感的指标，或者平均误差大小的直接可读性最受关注时。

这部分内容有帮助吗？

参考文献

An Introduction to Statistical Learning with Applications in R, Gareth James, Daniela Witten, Trevor Hastie, Robert Tibshirani, 2013 (Springer) - 一本基础教科书，以易懂的方式介绍了统计学习，涵盖了回归模型评估和包括MAE在内的各种指标。
sklearn.metrics.mean_absolute_error, scikit-learn Development Team, 2024 - scikit-learn库中平均绝对误差（MAE）函数的官方文档，提供了技术规范和使用示例。
The Elements of Statistical Learning: Data Mining, Inference, and Prediction, Trevor Hastie, Robert Tibshirani, Jerome Friedman, 2009 (Springer) DOI: 10.1007/978-0-387-84858-7 - 一本关于统计学习方法的综合性书籍，详细介绍了回归模型以及不同损失函数和评估指标的属性。