促进解缠的方法

一个理想的潜在空间 $z$ 不仅能有效压缩数据，还能以这样的方式组织数据：各个潜在维度对应原始数据中有意义、独立的变异因素。例如，在人脸建模时，一个潜在维度可能控制笑容强度，另一个控制头部姿态，再一个控制光照方向，且它们都彼此独立。这个特性被称为解缠。尽管标准的自编码器（包括VAE）能学习压缩表示，但它们不能自动保证解缠。学到的潜在维度常表现为底层因素的纠缠组合。

为什么解缠难以自动实现？VAE的目标函数，即优化证据下界（ELBO），主要侧重于最大化数据似然（重建质量），同时使近似后验 $q_{\phi}(z|x)$ 接近先验 $p(z)$。在标准ELBO目标函数中没有明确的项强制 $z$ 的各个维度统计独立并与数据的真实生成因素对齐。若干方法修改了VAE框架以明确促进这个特性。

$\beta$-VAE：调整KL散度权重

促进解缠最有影响力的方法之一是 $\beta$-VAE。核心思路简单而有效：通过引入一个系数 $\beta$ 来修改标准VAE的ELBO，该系数用于缩放KL散度项。

标准VAE的ELBO为：

$$L_{VAE} = E_{q_{\phi}(z|x)}[\log p_{\theta}(x|z)] - D_{KL}(q_{\phi}(z|x) || p(z))$$

$\beta$-VAE的目标函数变为：

$$L_{\beta-VAE} = E_{q_{\phi}(z|x)}[\log p_{\theta}(x|z)] - \beta D_{KL}(q_{\phi}(z|x) || p(z))$$

这里，$\beta$ 是一个大于1的超参数（$\beta > 1$）。通过增加KL散度项的权重，$\beta$-VAE 对近似后验 $q_{\phi}(z|x)$ 施加了更强的约束，使其与因子化的 Gaussian 先验 $p(z) = \mathcal{N}(0, I)$ 匹配。

直观上怎么理解？KL散度项衡量了潜在表示 $z$ 中从先验编码了多少信息。增加 $\beta$ 会惩罚在潜在空间中使用过多“通道容量”的模型。为了最小化这个受惩罚的目标函数，模型被引导找到最有效的表示，这通常使其能够找到底层独立的变异因素，因为单独表示它们在信息理论上是高效的。每个潜在维度都受到压力，只编码数据的一个特定方面，以使后验接近简单的、因子化的先验。

权衡： 尽管 $\beta > 1$ 通常能比标准VAE（$\beta=1$）带来显著改进的解缠效果，但这并非没有代价。KL散度项上增加的压力会减少模型对重建项 $E_{q_{\phi}(z|x)}[\log p_{\theta}(x|z)]$ 的关注。因此，$\beta$-VAE 可能会产生比在相同数据上训练的标准VAE更模糊或不准确的重建结果。选择 $\beta$ 的值需要在重建保真度与解缠程度之间进行权衡。值通常在2到10之间，但最佳的 $\beta$ 取决于数据集，通常通过实验得到。

$\beta$-VAE 中权衡的示意图。随着 $\beta$ 的增加，解缠分数通常提高，而重建质量可能会下降。具体曲线很大程度上取决于数据集和模型架构。

FactorVAE：惩罚总相关性

另一种方法，FactorVAE，更直接地解决解缠问题，它通过在VAE目标函数中添加一个明确的惩罚项，该惩罚项鼓励潜在编码 $z$ 各维度间的统计独立性。

回顾一下，VAE目标函数中的KL散度项 $D_{KL}(q_{\phi}(z|x) || p(z))$ 促进聚合后验 $q_{\phi}(z) = \int q_{\phi}(z|x) p_{data}(x) dx$ 与先验 $p(z)$ 匹配。FactorVAE 将此KL散度进一步分解。这种分解中的一个项是聚合后验 $q_{\phi}(z)$ 下潜在变量的总相关性（TC）：

$$TC(z) = D_{KL}(q_{\phi}(z) || \prod_{j} q_{\phi}(z_j))$$

总相关性衡量了潜在向量 $z$ 中变量 $z_1, ..., z_d$ 之间的冗余或依赖性。如果潜在维度完全独立，联合分布 $q_{\phi}(z)$ 将等于其边际分布的乘积 $\prod_{j} q_{\phi}(z_j)$，并且 TC 将为零。因此，直接惩罚TC可以促进潜在维度之间的独立性。

FactorVAE 目标函数添加了一个惩罚TC的项：

$$L_{FactorVAE} \approx L_{VAE} - \gamma TC(z)$$

而 $\gamma$ 是一个超参数，控制TC惩罚的强度。

直接计算 $TC(z)$ 是不可行的，因为它需要估计边际分布 $q_{\phi}(z_j)$。FactorVAE 巧妙地通过密度比技巧回避了这个问题。它训练一个辅助判别器网络（类似于GAN中使用的网络），以区分从联合后验 $q_{\phi}(z)$ 中提取的样本和从边际乘积 $\prod_{j} q_{\phi}(z_j)$ 中提取的样本（通过在批次中打乱潜在编码实现）。判别器的损失提供了TC的估计值，该估计值随后作为惩罚项添加到VAE的训练目标中。

通过直接惩罚潜在维度之间的统计依赖性，FactorVAE 旨在实现解缠，而不会过度约束聚合后验 $q_{\phi}(z)$ 的形状，就像高$\beta$ VAE中强大的先验匹配约束所做的那样。这有时可以带来比 $\beta$-VAE 更好的重建质量，同时保持相似的解缠水平，尽管这增加了训练一个额外判别器网络的复杂性。

其他相关技术

其他若干方法在这些思路的基础上发展，或提供了替代视角：

• 渐进式VAE（Annealed VAE）： 逐步增加训练期间KL散度项的权重（类似于$\beta$），开始时使用较低值以初步关注重建，之后再增加权重以强制更好的先验匹配并可能提高解缠效果。
• DIP-VAE（解缠推断先验VAE）： 通过鼓励推断后验的协方差矩阵为对角线形式来促成解缠，惩罚暗示潜在维度之间存在相关性的非对角线元素。
• InfoGAN / InfoVAE： 尽管InfoGAN基于GAN，但最大化潜在编码和观测值之间互信息的底层原理也应用于InfoVAE变体，以促成信息丰富且可能解缠的表示。

评估解缠

定量衡量解缠仍然是一个活跃的研究方向。没有一个单一指标被普遍接受，但常见方法包括：

• 视觉检查： 遍历单个潜在维度，并观察生成输出的变化是否对应于单一的、可解释的因素。
• 因子分数： 在学到的潜在编码 $z$ 上训练一个简单分类器（例如，线性分类器），以预测已知真实变异因素（如果可用）。更高的准确率表明这些因素的编码效果更好。
• 互信息间隙（MIG）： 衡量每个潜在维度与每个已知真实因素之间的互信息。高分数表明每个因素主要由一个潜在维度捕获。
• DCI分数（解缠、完备性、信息性）： 尝试衡量解缠（每个潜在量最多捕获一个因素）、完备性（每个因素都被某个潜在量捕获）和信息性（潜在量预测因素的效果如何）。

这些指标通常需要具有已知、已标记变异因素的数据集，而这些数据集并非总是可用。此外，不同的指标有时会得出相互冲突的结果，这凸显了在正式定义和衡量解缠方面持续存在的难题。

实践中，促进解缠通常涉及选择一种方法，如$\beta$-VAE或FactorVAE，仔细调整相关的超参数（例如，$\beta$，$\gamma$），并通过检查潜在遍历和重建，定量（如果可能）和定性地评估结果。目标是找到一个平衡点，在不过度牺牲模型准确表示数据能力的前提下，获得可解释和可控的潜在因素。