选择 SARIMA 阶数 (p, d, q)(P, D, Q)m

确定合适的 SARIMA 模型阶数，表示为 $SARIMA(p, d, q)(P, D, Q)_m$，需要确定七个参数 (parameter)。这个过程需要结合分析时间序列的结构、检查 ACF 和 PACF 图，并且通常需要反复试验。

1. 确定季节周期 ($m$)

季节周期 $m$ 表示一个完整季节周期中的时间步数。这个参数 (parameter)通常由数据本身的特性和领域知识决定：

• 月度数据： 很可能具有年度季节性，因此 $m=12$。
• 季度数据： 很可能具有年度季节性，因此 $m=4$。
• 日度数据： 可能具有每周季节性（$m=7$），每月季节性（大约 $m=30$，但通常比较复杂），或年度季节性（$m=365$）。对于标准 SARIMA，每周季节性最常见。

目视检查时间序列图通常是确认推测周期的最佳方式。寻找重复的模式并测量峰值或谷值之间的时间距离。

2. 确定季节差分阶数 ($D$)

季节差分通过减去相隔一个季节周期 ($m$) 的观测值来处理季节性。目的是消除季节性模式，以帮助达到平稳性。

• 检查季节滞后的 ACF： 绘制原始时间序列的 ACF。特别查看 $m$ 的倍数滞后（即 $m, 2m, 3m, ...$）。如果这些季节滞后处有显著的峰值并且衰减非常缓慢，则表明存在强季节性，提示需要进行季节差分。
• 应用季节差分： 如果季节性很强，尝试设置 $D=1$。计算季节差分后的序列：$y'_t = y_t - y_{t-m}$。
• 重新检查 ACF： 绘制季节差分后序列 ($y'_t$) 的 ACF。检查季节滞后处的显著峰值是否已消失或显著减小。
• $D>1$ 何时需要？ 很少需要 $D > 1$。如果一次差分后的序列的 ACF 仍然在季节滞后处显示强且不衰减的峰值，您可能会考虑 $D=2$，但这不常见。通常，$D$ 为 0（不需要季节差分）或 1。
• 正式检验： 虽然目视检查很常见，但存在季节单位根的正式检验（如 Canova-Hansen 检验或 Osborn-Chui-Smith 检验），但在实践中，解释 ACF/PACF 通常足以决定 $D=1$。

3. 确定非季节差分阶数 ($d$)

在使用 $D$ 处理季节性后（如果需要），检查所得序列（原始序列或季节差分后的序列）的非季节性平稳性（即检查是否存在趋势或随机游走）。

• 检查 ACF/PACF 和序列图： 查看（可能已经过季节差分的）序列图。它是否仍然显示明显的上升或下降趋势？再次检查 ACF 图。它是否在非季节滞后（滞后 1, 2, 3...）处衰减非常缓慢？
• 应用非季节差分： 如果趋势明显或 ACF 衰减缓慢，应用一阶非季节差分 ($d=1$)。计算新序列：$y''_t = y'_t - y'_{t-1}$（其中 $y'_t$ 是季节差分后的序列，如果 $D=0$ 则是原始序列）。
• 重新检查平稳性： 对所得序列 ($y''_t$) 进行目视检查和增广迪基-福勒 (ADF) 检验。如果序列现在是平稳的（ADF 检验拒绝单位根的零假设），那么 $d=1$ 可能适合。
• $d=2$ 何时需要？ 如果序列在进行一轮差分 ($d=1$) 后仍然不平稳，尝试二阶差分 ($d=2$)。这通常适用于趋势变化（例如加速）的序列。它比 $d=0$ 或 $d=1$ 更不常见。过度差分会引入人为模式，因此请谨慎。

您的目标是使用最少的必要差分步骤 ($D$ 和 $d$) 来获得平稳序列。

4. 确定季节性自回归 (autoregressive) ($P$) 和移动平均 ($Q$) 阶数

在应用季节 ($D$) 和非季节 ($d$) 差分后序列变得平稳时，检查此最终差分序列的 ACF 和 PACF 图以确定季节性自回归 ($P$) 和移动平均 ($Q$) 阶数。重点关注 $m$ 的倍数滞后（$m, 2m, 3m, ...$）。

• 季节性移动平均 ($Q$)： 查看 ACF 图。如果在滞后 $m$ 处只有一个显著峰值，并且 ACF 在此之后立即截断（即在 $2m, 3m, ...$ 处的峰值不显著），这表明是一个季节性 MA(1) 模型。设置 $Q=1$ 和 $P=0$。如果峰值出现在滞后 $m$ 和 $2m$ 处，但在此之后截断，则考虑 $Q=2$。
• 季节性自回归 ($P$)： 查看 PACF 图。如果在滞后 $m$ 处只有一个显著峰值，并且 PACF 在此之后立即截断（在 $2m, 3m, ...$ 处的峰值不显著），这表明是一个季节性 AR(1) 模型。设置 $P=1$ 和 $Q=0$。如果峰值出现在滞后 $m$ 和 $2m$ 处，但在此之后截断，则考虑 $P=2$。
• 季节性 ARMA ($P>0, Q>0$)： 如果 ACF 和 PACF 在季节滞后处（例如，在 $m, 2m, 3m, ...$ 处逐渐衰减）都显示缓慢衰减的显著峰值，这可能表明需要同时包含季节性 AR 和 MA 项（例如，$P=1, Q=1$）。
• 常见取值： 通常，$P$ 和 $Q$ 为 0 或 1。较高的季节性阶数不那么常见。从简单开始。

让我们可视化一个经过季节差分 ($D=1$) 和非季节差分 ($d=1$) 的月度序列 ($m=12$) 的 ACF/PACF 图，该图表明 $P=1, Q=0$ 和 $p=1, q=0$。

ACF 在非季节滞后处（1, 2, 3...）和季节滞后处（12, 24...）逐渐衰减。PACF 在滞后 1（非季节）和滞后 12（季节）后截断。这表明 $p=1, q=0$ 和 $P=1, Q=0$。置信区间（蓝色虚线）有助于判断显著性。

5. 确定非季节性自回归 (autoregressive) ($p$) 和移动平均 ($q$) 阶数

同时，检查已差分平稳序列的 ACF 和 PACF 图中最初的几个非季节滞后（滞后 1, 2, 3, ...）。应用标准 ARIMA 识别规则：

• 移动平均 ($q$)： ACF 在滞后 $q$ 后急剧截断，而 PACF 逐渐衰减。设置 $p=0$。
• 自回归 ($p$)： PACF 在滞后 $p$ 后急剧截断，而 ACF 逐渐衰减。设置 $q=0$。
• ARMA ($p>0, q>0$)： ACF 和 PACF 都逐渐衰减。

寻找适合这些模式的最简单模型。通常 $p$ 和 $q$ 是 0、1 或 2 这样的小数字。

6. 迭代与优化

从 ACF/PACF 图中识别 SARIMA 阶数通常更像一门艺术而非一门精确的科学。这些图表为候选模型提供了提示。

• 从简开始： 从图表提示的较低阶模型开始（例如，$SARIMA(1,1,1)(1,1,1)_{12}$）。
• 拟合与诊断： 使用 statsmodels 拟合您的候选模型。检查模型摘要，最重要的是，执行残差诊断（稍后详细介绍）。残差理想情况下应类似于白噪声（无自相关、零均值、恒定方差）。检查残差的 ACF/PACF 图。如果仍有显著峰值，您的模型可能缺少某些结构，提示需要调整阶数（$p, q, P,$ 或 $Q$）。
• 信息准则： 使用 AIC（赤池信息准则）或 BIC（贝叶斯信息准则）等指标来比较诊断后看起来合理的各种候选模型。较低的 AIC/BIC 值通常表明模型拟合与复杂性之间有更好的平衡。pmdarima 等库可以使用这些准则自动在潜在阶数网格中搜索，这可以作为手动检查的有用补充。

选择最佳 SARIMA 阶数是一个反复试验的过程，涉及检查图表、拟合模型、检查残差和比较模型拟合统计数据。目标是找到一个简约模型（性能良好且最简单的模型），它能够反映平稳时间序列的非季节性和季节性动态。