识别季节性成分 (ACF/PACF)

自相关函数（ACF）和偏自相关函数（PACF）图是识别SARIMA模型季节性成分（ $P, Q$ ）可能阶数的有效工具。这些图同样可以帮助确定ARIMA模型中的非季节性成分（ $p, q$ ）。在分析季节性成分时，一个主要的区别在于需要关注哪些滞后。

处理季节性数据时，我们关注的是与季节频率对应的滞后处的关联性。如果时间序列有一个季节周期 $m$ ，这意味着相隔 $m$ 个时间步长的观测值之间存在关联。例如：

季节周期 $m$ 通常根据数据性质和对时间序列图的目视检查来确定，时间序列图通常会显示固定间隔的重复模式。

为了识别季节性阶数 $P$ 和 $Q$ ，我们专门检查ACF和PACF图中季节周期的倍数滞后处： $m, 2m, 3m, \dots$

解释规则与非季节性成分的规则相似，但应用于季节性滞后：

季节性自回归（AR）阶数（P）：
- 查看PACF图在季节性滞后处（ $m, 2m, \dots$ ）。
- PACF在滞后 $P \times m$ 后突然截断，同时ACF在季节性滞后处呈现较慢的、通常是正弦或指数型衰减，这表明存在一个 $P$ 阶季节性AR过程。例如，如果 $m=12$ 且PACF仅在滞后12处有显著尖峰，而在24、36等处没有，则表明 $P=1$ 。
季节性移动平均（MA）阶数（Q）：
- 查看ACF图在季节性滞后处（ $m, 2m, \dots$ ）。
- ACF在滞后 $Q \times m$ 后突然截断，同时PACF在季节性滞后处呈现较慢的衰减，这表明存在一个 $Q$ 阶季节性MA过程。例如，如果 $m=12$ 且ACF仅在滞后12处有显著尖峰，但在之后截断，则表明 $Q=1$ 。
季节性差分（D）：
- ACF中季节性滞后处（例如，滞后 $m, 2m, 3m$ 处的值较高）存在强而持续的正相关性，通常表明需要进行季节性差分（ $D > 0$ ）。如果您怀疑存在季节性非平稳性，应应用季节性差分（从 $m$ 个周期前的观测值中减去当前观测值，即 $y'_t = y_t - y_{t-m}$ ），然后重新检查差分后序列的ACF/PACF图以确定 $P$ 和 $Q$ 。如果季节性随着时间推移在水平或振幅上发生明显变化，即使在查看ACF/PACF图之前，通常也能清楚地看出需要季节性差分。

假设我们有月度数据（ $m=12$ ），我们怀疑它需要季节性差分（ $D=1$ ）。应用此差分后，我们生成差分序列的ACF和PACF图。

ACF图显示在滞后12（ $m=12$ ）处有一个显著的负向尖峰，而在滞后24处的值较小且不显著。非季节性滞后（例如，滞后1）也可能显著。虚线表示置信区间。

PACF图显示在滞后12处有一个显著的负向尖峰，并且在更远的季节性滞后处（滞后24较小）值逐渐衰减。非季节性滞后也可能显示显著性。

示例图的解释：

ACF： 滞后12处的显著尖峰立即截断（滞后24不显著），这有力地表明存在一个 $Q=1$ 阶的季节性MA成分。
PACF： 滞后12处的尖峰显著，但滞后24处的尖峰小得多且可能不显著，这表明衰减。此模式与季节性MA(1)过程一致。
非季节性： 我们还在非季节性滞后处（例如，ACF和PACF中的滞后1）观察到显著性。这些将用于确定非季节性阶数 $p$ 和 $q$ ，就像第3章中一样。

根据这些针对季节性差分数据（意味着 $D=1$ ）的图，一个可能的季节性阶数可以是 $(P=0, D=1, Q=1)_{12}$ 。非季节性阶数 $(p, d, q)$ 将通过检查初始滞后（1, 2, 3, ...）处的尖峰来确定。

请记住，这些图提供指导，而非明确答案。通常，您可能需要基于对ACF/PACF图稍有不同的理解，尝试几种候选模型，尤其是在模式不完全清晰时。下一节将讨论结合这些观察结果的方式，以选择完整的 $SARIMA(p, d, q)(P, D, Q)_m$ 阶数。

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参考文献

Time Series Analysis: Forecasting and Control, George E. P. Box, Gwilym M. Jenkins, Gregory C. Reinsel, Greta M. Ljung, 2015 (John Wiley & Sons) - 这是Box-Jenkins方法的权威参考文献，为识别ARIMA和季节性ARIMA（SARIMA）模型组件提供了基础理解，包括对ACF和PACF图季节性模式的解释。
Forecasting: Principles and Practice, Rob J Hyndman and George Athanasopoulos, 2021 (OTexts) - 提供实用且易于理解的时间序列预测指南，清晰地解释并举例说明如何使用ACF和PACF图来识别SARIMA模型的季节性和非季节性成分。
Introduction to Time Series and Forecasting, Peter J. Brockwell, Richard A. Davis, 2016 (Springer) DOI: 10.1007/978-3-319-29318-8 - 一本严谨而易懂的教科书，涵盖了时间序列分析的理论基础和实际应用，包括对ARIMA和季节性模型及其通过ACF/PACF进行识别的详细讨论。