SARIMA模型诊断

拟合SARIMA模型后，过程并未结束。进行诊断检查很重要，以评估所选模型是否充分拟合数据。这一步有助于判断模型假设是否合理满足，以及它是否捕获了时间序列中存在的主要模式，包括季节性。未能诊断模型可能导致预测不可靠和结论错误。

诊断时间序列模型（包括SARIMA）的主要工具是分析模型的残差。残差是训练数据中实际观测值与模型预测值之间的差异：

$\text{残差}_t = \text{实际值}_t - \text{预测值}_t$

如果SARIMA模型拟合良好，残差理想情况下应类似白噪声。这意味着残差应具有：

1. 均值恒定，围绕零点。
2. 方差随时间保持不变（同方差性）。
3. 没有显著自相关；不同时间步的残差应相互独立。

接下来我们看看常用的诊断方法。

绘制残差随时间的变化图

简单的第一步是绘制残差与时间的关系图。此图有助于直观检查模型未能捕获的任何剩余模式、异常值、非恒定方差或趋势。理想情况下，图上应显示点随机分布在零点附近，没有明显结构。

残差随时间的变化图。理想情况下，它们应在零线附近随机波动，不显示明显模式或趋势。

如果您观察到明确模式，例如持续的季节性或趋势，则表明模型阶数（非季节性或季节性）可能需要调整。如果残差的方差随时间显著变化（异方差性），则在建模前可能需要考虑数据变换（如对数或Box-Cox变换），或者可能需要更复杂的模型。

检查残差的正态性

虽然并非严格要求模型系数有意义，但残差服从正态分布的假设对于构建准确的预测区间通常很重要。两种常用的正态性评估图是直方图和分位数-分位数（QQ）图。

• 直方图： 此图显示残差值的分布。对于正态分布的残差，直方图应类似以零为中心的钟形。
• QQ图： 此图绘制残差分布的分位数与理论正态分布的分位数。如果残差服从正态分布，QQ图中的点应大致落在一条直线对角线上。

模型残差的直方图（左）和QQ图（右）。直方图近似于钟形曲线，QQ图中的点接近对角线，表明残差与正态分布相当接近。

偏离正态性，尤其是重尾（QQ图中两端点明显偏离直线），可能表明预测区间不准确。

检查残差的自相关性（ACF/PACF）

也许时间序列模型最重要的诊断方法是检查残差中的自相关性。如果模型已成功捕获了时间依赖性（包括非季节性和季节性），则残差应不相关。我们使用残差的ACF图进行此检查。

残差ACF图中显著的尖峰，尤其是在较低滞后（如1、2、3...）或在季节性滞后（$m, 2m, 3m, \dots$，其中$m$是季节周期），表明模型尚未完全捕获相关结构。

残差的ACF图。大多数尖峰都在置信区间内（虚线），表明没有显著自相关性残留。明显超出范围的尖峰可能表明存在问题。对于具有月度季节性（$m=12$）的SARIMA模型，要特别注意滞后12和24。

如果发现显著自相关性：

• 在非季节性滞后：考虑调整非季节性阶数（$p$或$q$）。例如，滞后1处的尖峰可能表明增加$q$或$p$。
• 在季节性滞后：考虑调整季节性阶数（$P$或$Q$）。滞后$m$处的尖峰可能表明增加$P$或$Q$。

正式统计检验：Ljung-Box检验

除了视觉检查，正式统计检验可以检查残差中的自相关性。Ljung-Box检验常用。它检验残差的前$k$个自相关系数联合为零的原假设。

$H_0$: 残差相互独立（无自相关）。 $H_a$: 残差表现出自相关性。

该检验产生一个统计量和一个p值。如果p值很小（通常小于0.05这样的显著性水平），我们拒绝原假设，认定残差中仍存在显著自相关性，表明模型可能存在设定错误。

在Python的statsmodels库中，已拟合SARIMA模型的summary()方法通常包含Ljung-Box检验结果（常报告为“Prob(Q)”）。寻找大于0.05的p值，以支持残差独立的说法。

使用模型摘要输出

statsmodels等库在拟合SARIMA模型后提供的summary()输出是诊断信息的丰富来源。在Ljung-Box检验之后，它通常包含：

• 系数估计和P值： 检查估计系数（AR、MA、季节性AR、季节性MA）是否具有统计学意义（p值 < 0.05）。不显著的系数可能表明可以通过移除相应项（降低阶数）来简化模型。
• 标准误差： 给出系数估计不确定性的一个大概判断。
• 对数似然、AIC、BIC： 可用于比较不同候选SARIMA模型的信息准则（通常倾向于选择较低值），也是模型整体拟合情况的指标。
• 残差汇总统计： 通常包括残差的标准差或方差等度量。

仔细审查此汇总表，为视觉诊断提供了量化补充。

通过系统地应用这些诊断检查——检查残差图、测试正态性、检查残差的ACF/PACF，以及解释Ljung-Box等正式检验——您可以对您拟合的SARIMA模型更有信心。如果诊断结果显示问题，请重新查看模型识别和阶数选择步骤（第3章和第5章），以调整模型结构，直到残差接近白噪声。只有在进行了全面诊断之后，才能继续使用模型进行预测。