选择ARIMA模型阶数 (p, d, q)

选择ARIMA模型组成部分（AR、I、MA）的适当阶数，它们由参数 (parameter)$(p, d, q)$表示，是构建有效ARIMA模型的根本。这个选择过程涉及确定所需的差分次数（'I'部分），然后根据平稳序列的自相关模式，确定AR和MA部分的结构。

确定差分阶数（d）

ARIMA中的'I'代表'差分整合'。这个组成部分处理时间序列中的非平稳性，特别是与趋势或水平变化相关的非平稳性。参数 (parameter)$d$表示时间序列需要进行差分的次数，以达到平稳。

1. 评估初始平稳性： 首先，检查您的原始时间序列。使用第2章中讨论的目视检查方法（绘制序列图、移动平均/方差）和统计检验（如增广迪基-富勒检验）。

   • 如果序列看起来是平稳的（均值和方差恒定，ADF检验拒绝非平稳的零假设），则不需要差分，此时$d = 0$。
   • 如果序列是非平稳的，则进行差分。

2. 应用差分： 计算序列的一阶差分：$\Delta y_t = y_t - y_{t-1}$。现在，检验这个差分序列的平稳性。

   • 如果一阶差分序列是平稳的，则$d = 1$。这对于表现出线性趋势的序列来说非常常见。

3. 考虑二阶差分（如果需要）： 如果一阶差分序列仍然非平稳（可能是由于二次趋势或变化趋势），计算二阶差分：$\Delta^2 y_t = \Delta y_t - \Delta y_{t-1} = (y_t - y_{t-1}) - (y_{t-1} - y_{t-2})$。检验这个二阶差分序列的平稳性。

   • 如果二阶差分序列是平稳的，则$d = 2$。

重要指导原则： 使用使序列平稳所需的最少差分阶数。过度差分会向数据中引入人为模式和依赖关系，从而不必要地使模型复杂化。很少需要$d > 2$。如果在两轮差分后仍未达到平稳，您可能需要考虑其他变换（如取对数）或替代的建模方法。

一旦您确定了$d$的值并获得了平稳时间序列（我们称之为$y'_t$，如果$d=0$它可能是原始序列，如果$d>0$则是差分后的版本），您就可以接着确定AR和MA的阶数（$p$和$q$）。

使用ACF和PACF确定AR（p）和MA（q）阶数

自相关函数（ACF）和偏自相关函数（PACF）图（在第3章中讨论过）是推断模型ARMA部分阶数$p$和$q$的主要工具。记住要使用平稳（差分后）时间序列$y'_t$来生成这些图。

以下是要查找的一般模式：

• AR(p) 模型特点：

  • ACF： 缓慢衰减或指数式衰减趋近于零。它可能显示振荡。
  • PACF： 在滞后$p$后急剧截断。这意味着偏自相关在滞后$p$之前是统计显著的，然后急剧降至接近零（在显著性边界内）。
  • 解释： 如果您看到这种模式，它表明AR($p$)模型可能适合，这意味着$q=0$。$p$的值由PACF截断的滞后决定。

• MA(q) 模型特点：

  • ACF： 在滞后$q$后急剧截断。自相关在滞后$q$之前是显著的，然后急剧下降。
  • PACF： 缓慢衰减或指数式衰减趋近于零。
  • 解释： 这种模式表明MA($q$)模型，这意味着$p=0$。$q$的值由ACF截断的滞后决定。

• ARMA(p, q) 模型特点：

  • ACF： 在滞后$q$后缓慢衰减。
  • PACF： 在滞后$p$后缓慢衰减。
  • 解释： 如果两张图都显示衰减行为，这表明AR和MA项都必要。确定确切的$p$和$q$可能更具挑战性。通常，您可能会在两张图中观察到指数衰减或阻尼正弦波。在这种情况下，您可以寻找衰减有效开始的滞后，或者尝试将$p$和$q$设为小值（例如，$p=1, q=1$）作为起点。

ACF/PACF图解释的可视化：

让我们设想平稳序列的两种情形（$d$已确定）：

情形1：潜在的AR(2)模型

在情形1中，ACF图显示出缓慢、有些指数式的衰减。PACF图在滞后1和2处显示显著峰值，然后急剧截断（滞后2之后的峰值都在显著性边界内，由虚线表示）。这强烈表明是一个AR(2)模型，所以$p=2$且$q=0$。完整的模型将是ARIMA(2, d, 0)。

情形2：潜在的MA(1)模型

在情形2中，ACF图在滞后1处显示单个显著峰值，然后截断。PACF图衰减得更慢，可能呈几何式或振荡式。这种模式强烈表明是一个MA(1)模型，暗示$p=0$且$q=1$。完整的模型将是ARIMA(0, d, 1)。

迭代选择和信息准则

ACF和PACF图很少像理想化例子那样清晰。数据中的噪声会模糊模式。因此，选择$(p, d, q)$通常是一个迭代过程：

1. 确定d： 找到使序列平稳所需的最小差分次数。
2. 分析ACF/PACF： 检查平稳序列的图。根据截断或衰减行为，确定$p$和$q$的潜在候选阶数。从更简单的模型开始（小的$p, q$值）。
3. 拟合候选模型： 使用statsmodels等库拟合ARIMA($p, d, q$)模型（接下来会讲到）。
4. 检查诊断结果： 分析拟合模型的残差。如果模型良好，残差应类似于白噪声（没有剩余的显著自相关）。这将在“模型诊断”部分进行介绍。
5. 比较模型： 如果多个候选模型看起来合理（例如，ARIMA(1, d, 0) 对比 ARIMA(0, d, 1) 对比 ARIMA(1, d, 1)），您可以使用像AIC（赤池信息准则）或BIC（贝叶斯信息准则）这样的信息准则来帮助选择。这些指标在模型拟合度（它解释数据的程度）和模型复杂度（参数 (parameter)$p+q$的数量）之间取得平衡。通常，AIC或BIC值较低的模型更受青睐。我们将在第6章更详细地讨论评估指标，包括AIC/BIC。
6. 完善： 根据诊断结果和比较指标，完善您对$p$和$q$的选择。您可能需要尝试略有不同的阶数，并重复步骤3-5。

这种结合分析ACF/PACF图、拟合模型、检查残差以及潜在地使用信息准则的方法，提供了一种系统途径，以得到适合您时间序列的ARIMA($p, d, q$)设定。