结合AR和MA：ARMA模型

自回归 (autoregressive)（AR）模型根据过去值预测未来值，而移动平均（MA）模型根据过去的预测误差预测未来值。尽管这些模型单独使用时有帮助，但许多实际中的平稳时间序列所呈现的相关结构，并非纯粹的AR或纯粹的MA过程单独能够完全捕捉。其变化可能同时取决于近期值和近期的冲击或误差。

在这种情况下，自回归移动平均（ARMA）模型便派上用场。它通过将AR和MA两个部分结合到一个模型中，提供了一个更灵活的框架。ARMA模型假设序列的当前值与其自身的先前值和先前的误差项线性相关。

ARMA(p, q)模型的结构

ARMA模型表示为ARMA(p, q)，其中：

• p 是自回归 (autoregressive)（AR）部分的阶数。
• q 是移动平均（MA）部分的阶数。

时间序列 $Y\_t$ 的ARMA(p, q)模型方程为：

$Y_t = c + \phi_1 Y_{t-1} + \phi_2 Y_{t-2} + ... + \phi_p Y_{t-p} + \theta_1 \epsilon_{t-1} + \theta_2 \epsilon_{t-2} + ... + \theta_q \epsilon_{t-q} + \epsilon_t$

我们来分解一下：

• $Y\_t$：时间序列在时间 $t$ 的值。
• $c$：常数项（基线或截距）。
• $\\phi\_1, ..., \\phi\_p$：AR项的系数（$p$个过去值 $Y\_{t-1}$ 到 $Y\_{t-p}$）。
• $\\theta\_1, ..., \\theta\_q$：MA项的系数（$q$个过去误差项 $\\epsilon\_{t-1}$ 到 $\\epsilon\_{t-q}$）。
• $\\epsilon\_t$：时间 $t$ 的白噪声误差项。它表示序列在时间 $t$ 的不可预测部分。
• $\\epsilon\_{t-1}, ..., \\epsilon\_{t-q}$：过去误差项。它们是实际值与模型在先前时间点的预测值之间的差异。

本质上，该模型说明当前观测值 $Y\_t$ 是 $p$ 个过去观测值（AR部分）、 $q$ 个过去预测误差（MA部分）、一个常数项以及当前误差项的加权和。

ARMA(p, q)模型的流程，展示了过去值和过去误差如何帮助预测当前值。

平稳性假设

直接应用ARMA模型的一个重要前提是，时间序列 $Y\_t$ 必须是平稳的。回顾第二章，平稳性意味着序列具有恒定的均值、恒定的方差和随时间不变的自相关结构。如果你的序列表现出趋势或季节性，它就是非平稳的，在这种情况下，在未将数据转换为平稳状态之前，ARMA模型并不适用（这会引出我们接下来要讨论的ARIMA模型）。

ARMA与ACF和PACF的关联

在第三章中，你了解了自相关函数（ACF）图和偏自相关函数（PACF）图如何帮助识别平稳时间序列的结构。让我们回顾一下它们在ARMA模型背景下的典型模式：

1. 纯AR(p)模型：
   • ACF：逐渐衰减（呈指数或正弦曲线状）。
   • PACF：在滞后 p 后突然截断。
2. 纯MA(q)模型：
   • ACF：在滞后 q 后突然截断。
   • PACF：逐渐衰减。
3. ARMA(p, q)模型：
   • ACF：在滞后 q 后逐渐衰减。
   • PACF：在滞后 p 后逐渐衰减。

对于混合ARMA过程，ACF和PACF通常都会逐渐衰减至零。具体的衰减速度可以提供关于 p 和 q 的线索，但与纯AR或MA过程相比，解释ARMA模型的这些模式通常更具挑战性。通常，你会使用这些图来初步确定可能的 p 和 q 值，然后依靠模型诊断和信息准则（如AIC或BIC，第六章会提到）在拟合过程中调整模型阶数。

通过结合AR和MA项，ARMA模型能够比单独的AR或MA模型捕捉到更广泛的平稳数据时间依赖性。这使得它们成为你时间序列分析工具箱中的一种有用工具。然而，对平稳性的要求是一个局限性，我们接下来将通过引入“差分”部分来解决，从而引出完整的ARIMA模型。