引入整合：ARIMA 模型

自回归 (autoregressive) (AR) 模型运用过往值，而移动平均 (MA) 模型则使用过往误差。ARMA 模型结合了这两种思路。然而，AR、MA 和 ARMA 模型的一个重要假设是，基础的时间序列数据必须是平稳的。其统计特征，如均值和方差，不应随时间变化。

当我们遇到实际数据时会怎样？这些数据经常显示出趋势或其他形式的非平稳性。将 ARMA 模型直接应用于这类数据会导致不可靠的结果。这就是 ARIMA 中“I”的作用所在。

ARIMA 代表差分整合自回归移动平均。“整合”部分解决了非平稳性问题。回顾第2章“时间序列分解与平稳性”，差分是一种常用方法，用于将非平稳序列转换为平稳序列。我们通过计算连续观测值之间的差值来实现这一点。有时，如果第一次差分未能得到平稳序列，我们可能需要多次应用差分。

“整合”一词表明建模过程包含了这个差分步骤。它指的是一个思路，即原始非平稳序列可以被认为是差分的逆过程，本质上是平稳差分序列的求和或（在离散意义上的）积分。

ARIMA 模型的特点是三个参数 (parameter)：$(p, d, q)$。

• p (AR 阶数): 模型中包含的滞后观测值数量。这与 AR 和 ARMA 模型中的 p 相同，但它是根据差分后的序列确定的。
• d (差分次数): 原始观测值进行差分以达到平稳性的次数。如果原始序列已经平稳，则 $d=0$。
• q (MA 阶数): 移动平均窗口的大小，表示预测方程中滞后预测误差的数量。这与 MA 和 ARMA 模型中的 q 相同，应用于差分后的序列。

因此，ARIMA(p, d, q) 模型实际上是将 ARMA(p, q) 模型应用于时间序列在经过 d 次差分之后。

流程图说明了差分 (d) 如何使数据平稳，从而可以确定 ARMA(p, q) 结构，最终将 ARIMA(p, d, q) 模型应用于原始数据。

如果时间序列已经平稳，我们设置 $d=0$，ARIMA(p, 0, q) 模型将直接简化为 ARMA(p, q) 模型。ARIMA 的优点在于它能够处理更广泛的时间序列，特别是那些经过一次或多次差分后变得平稳的序列。

在使用像 Python 中的 statsmodels 这样的库时，您通常指定 $(p, d, q)$ 阶数并提供原始的非平稳时间序列。库会在模型拟合过程中在内部处理差分。通常不需要在将数据传递给 ARIMA 函数之前手动进行差分，尽管理解差分步骤 (d) 对于选择正确的模型阶数很重要。

在接下来的章节中，我们将讨论选择 $p$、$d$ 和 $q$ 适当值的策略，如何使用 Python 拟合模型，以及如何评估其性能。