动手实践：ACF/PACF 图的绘制与解读

为时间序列生成自相关函数（ACF）和偏自相关函数（PACF）图，并分析它们以推荐可能的模型阶数。在拟合ARIMA模型之前，此过程非常重要，因为这些图提供了关于平稳时间序列内在结构（'p'和'q'参数 (parameter)）的线索。

前提条件

我们假设您已经准备好一个平稳时间序列。如果您从非平稳数据开始，则应已应用差分等变换（如第2章所述）以达到平稳性。本次练习中，我们将使用人工生成的平稳数据集，以清楚地展示预期的模式。

您需要以下Python库：

numpy 用于数值运算和生成样本数据。
pandas 用于数据处理（如果直接使用NumPy数组，对于此特定的绘图示例而言，其重要性较低）。
statsmodels 用于ACF/PACF计算和绘图函数。
plotly.graph_objects 用于按要求创建图表（我们将根据statsmodels的计算手动构建这些图表）。

import numpy as np
import pandas as pd
import statsmodels.api as sm
from statsmodels.tsa.stattools import acf, pacf
# 我们将根据要求使用plotly进行可视化
# 注意：statsmodels有其基于matplotlib的plot_acf/plot_pacf函数，
# 但我们将提取数据来创建Plotly图表。
import plotly.graph_objects as go
from plotly.subplots import make_subplots

# 设置随机种子以保证结果可重现
np.random.seed(42)

# 生成一个样本平稳AR(2)过程：
# y_t = 0.7*y_{t-1} - 0.3*y_{t-2} + noise
ar_params = np.array([0.7, -0.3])
ma_params = np.array([]) # 没有MA（移动平均）分量
ar = np.r_[1, -ar_params] # 添加零滞后系数
ma = np.r_[1, ma_params] # 添加零滞后系数

# 生成500个数据点
n_samples = 500
# 使用ArmaProcess生成数据（statsmodels的一部分）
from statsmodels.tsa.arima_process import ArmaProcess
ar_process = ArmaProcess(ar, ma)
sample_data = ar_process.generate_sample(nsample=n_samples)

# 转换为pandas Series（可选，但常见做法）
ts = pd.Series(sample_data)

print("生成的样本数据（前5个值）：")
print(ts.head())
print(f"\n生成的数据是否平稳（基于生成过程）？是的，AR(2)过程参数在平稳区域内。")
# 通常您会在真实数据上运行ADF检验
# from statsmodels.tsa.stattools import adfuller
# adf_result = adfuller(ts)
# print(f'ADF Statistic: {adf_result[0]}')
# print(f'p-value: {adf_result[1]}') # 低的p-值表示平稳性

计算和绘制ACF

ACF测量时间序列 $y_t$ 与其滞后值 $y_{t-k}$ 在不同滞后 $k$ 下的相关性。我们使用statsmodels.tsa.stattools中的acf函数来计算这些值和相应的置信区间。

滞后 $k$ 处的显著峰值表示相隔 $k$ 个周期的观测值之间存在强相关性。对于MA(q)过程，ACF图预计在滞后 $q$ 之前有显著峰值，然后突然截断（落入置信区间内）。对于AR(p)过程，ACF通常衰减更慢（通常呈几何式衰减或正弦波模式）。

# 计算ACF和置信区间
# nlags指定要计算的滞后数量；alpha指定置信水平（0.05表示95%）
acf_values, confint = acf(ts, nlags=20, alpha=0.05)

# 置信区间数组confint的形状为(nlags+1, 2)
# 下限 = confint[:, 0] - acf_values
# 上限 = confint[:, 1] - acf_values
# 注意：acf_values[0]始终为1（与滞后0的相关性）
lags = np.arange(len(acf_values))
conf_lower = confint[:, 0] - acf_values
conf_upper = confint[:, 1] - acf_values

# 为ACF创建Plotly图
fig_acf = go.Figure()

# 添加置信区间带（不包括滞后0）
fig_acf.add_trace(go.Scatter(
    x=np.concatenate([lags[1:], lags[1:][::-1]]), # 多边形形状的x坐标
    y=np.concatenate([conf_upper[1:], conf_lower[1:][::-1]]), # 多边形形状的y坐标
    fill='toself',
    fillcolor='#a5d8ff', # 浅蓝色
    line=dict(color='rgba(255,255,255,0)'), # 无边框线
    hoverinfo="skip",
    showlegend=False,
    name='置信区间'
))

# 添加ACF条/茎（不包括滞后0）
fig_acf.add_trace(go.Scatter(
    x=lags[1:],
    y=acf_values[1:],
    mode='markers',
    marker=dict(color='#1c7ed6', size=8), # 蓝色点
    name='ACF'
))

# 添加从茎到x轴的垂直线
for i in range(1, len(acf_values)):
    fig_acf.add_shape(type='line',
                      x0=lags[i], y0=0,
                      x1=lags[i], y1=acf_values[i],
                      line=dict(color='#495057', width=1.5)) # 灰色线

# 添加滞后0点（始终为1）
fig_acf.add_trace(go.Scatter(
    x=[lags[0]], y=[acf_values[0]], mode='markers', marker=dict(color='#1c7ed6', size=8), showlegend=False
))
fig_acf.add_shape(type='line', x0=lags[0], y0=0, x1=lags[0], y1=acf_values[0], line=dict(color='#495057', width=1.5))

# 更新布局
fig_acf.update_layout(
    title='自相关函数（ACF）',
    xaxis_title='滞后',
    yaxis_title='自相关',
    yaxis_range=[-1, 1.1], # 确保y轴覆盖整个范围加上滞后0
    xaxis=dict(tickmode='linear', dtick=1), # 显示整数滞后
    plot_bgcolor='white',
    height=350,
    margin=dict(l=50, r=20, t=50, b=40)
)

# 显示图表（在笔记本环境中）或保存它
# fig_acf.show() # 取消注释以交互方式显示

生成的AR(2)数据的ACF图。蓝色阴影区域表示95%置信区间。此区域外的相关性具有统计学意义。

计算和绘制PACF

PACF测量在移除中间滞后（ $y_{t-1}, y_{t-2}, ..., y_{t-k+1}$ ）的影响后， $y_t$ 与 $y_{t-k}$ 之间的相关性。我们使用statsmodels.tsa.stattools中的pacf函数。

对于AR(p)过程，PACF图预计在滞后 $p$ 之前有显著峰值，然后突然截断。这是因为PACF移除了较短滞后的影响，隔离了AR参数 (parameter)所描述的直接关系。对于MA(q)过程，PACF通常衰减更慢。

# 计算PACF和置信区间
# method='ywm'是默认方法，通常推荐使用
pacf_values, confint_pacf = pacf(ts, nlags=20, alpha=0.05, method='ywm')

# 提取置信区间，与ACF类似
lags_pacf = np.arange(len(pacf_values))
conf_lower_pacf = confint_pacf[:, 0] - pacf_values
conf_upper_pacf = confint_pacf[:, 1] - pacf_values

# 为PACF创建Plotly图
fig_pacf = go.Figure()

# 添加置信区间带（不包括滞后0）
fig_pacf.add_trace(go.Scatter(
    x=np.concatenate([lags_pacf[1:], lags_pacf[1:][::-1]]),
    y=np.concatenate([conf_upper_pacf[1:], conf_lower_pacf[1:][::-1]]),
    fill='toself',
    fillcolor='#a5d8ff', # 浅蓝色
    line=dict(color='rgba(255,255,255,0)'),
    hoverinfo="skip",
    showlegend=False,
    name='置信区间'
))

# 添加PACF条/茎（不包括滞后0）
fig_pacf.add_trace(go.Scatter(
    x=lags_pacf[1:],
    y=pacf_values[1:],
    mode='markers',
    marker=dict(color='#7048e8', size=8), # 紫罗兰色点
    name='PACF'
))

# 添加从茎到x轴的垂直线
for i in range(1, len(pacf_values)):
    fig_pacf.add_shape(type='line',
                      x0=lags_pacf[i], y0=0,
                      x1=lags_pacf[i], y1=pacf_values[i],
                      line=dict(color='#495057', width=1.5)) # 灰色线

# 添加滞后0点（根据PACF定义始终为1，但有时在图中省略）
# 对于PACF，我们将省略滞后0处的线/标记，因为它不如ACF那样是标准做法
# fig_pacf.add_trace(go.Scatter(
#     x=[lags_pacf[0]], y=[pacf_values[0]], mode='markers', marker=dict(color='#7048e8', size=8), showlegend=False
# ))

# 更新布局
fig_pacf.update_layout(
    title='偏自相关函数（PACF）',
    xaxis_title='滞后',
    yaxis_title='偏自相关',
    yaxis_range=[-1, 1.1], # 确保y轴覆盖整个范围
    xaxis=dict(tickmode='linear', dtick=1), # 显示整数滞后
    plot_bgcolor='white',
    height=350,
    margin=dict(l=50, r=20, t=50, b=40)
)

# fig_pacf.show() # 取消注释以交互方式显示

生成的AR(2)数据的PACF图。蓝色阴影区域表示95%置信区间。

解读

现在，让我们解读从样本AR(2)数据生成的图：

ACF图分析：
- 观察ACF图。相关性在滞后1处较高（约0.65），然后逐渐减小，可能出现振荡（例如，滞后3为负值，滞后4更负）。
- 相关性在多个滞后处仍具有统计学意义（在蓝色带外），然后似乎缓慢趋向于零。这种衰减模式是AR过程的特点。它在特定滞后 $q$ 之后没有显示出急剧截断，这使得纯MA模型的可能性降低。
PACF图分析：
- 现在，看看PACF图。我们在滞后1（正值，约0.65）和滞后2（负值，约-0.3）处看到显著峰值。
- 重要的是，在滞后2之后，PACF值突然下降并落入置信区间内。在滞后2之后，它们不具有统计学意义。
- 滞后 $p=2$ 之后的这种急剧截断是AR(2)过程的显著特征。
结论：
- ACF图显示出衰减模式，表明存在AR分量。
- PACF图在滞后2之后急剧截断，强烈表明 $p=2$ 。
- 由于ACF衰减且PACF在滞后2处截断，这些图所建议的最可能模型是**AR(2)**模型。这与我们生成数据的方式一致（ $y_t = 0.7y_{t-1} - 0.3y_{t-2} + \epsilon_t$ ）。

以下是基于平稳数据ACF/PACF模式的快速参考指南：

过程	ACF模式	PACF模式	建议模型
AR(p)	拖尾（几何/正弦波）	在滞后p后截断	ARIMA(p, 0, 0)
MA(q)	在滞后q后截断	拖尾（几何/正弦波）	ARIMA(0, 0, q)
ARMA(p,q)	拖尾	拖尾	ARIMA(p, 0, q)

(请记住，ARIMA(p, d, q)中的“d”与达到平稳性所需的差分有关，这在分析ACF/PACF图之前确定。)

您的练习

现在轮到您自己应用这些方法了。

选择一个您能获取的平稳时间序列数据集（可能是第2章练习中使用的数据的差分版本）。如果您没有现成的数据集，请尝试生成一个MA(1)过程（例如，y_t = 0.6 * noise_{t-1} + noise_t），类似于我们上面生成AR(2)数据的方式。
使用所示方法生成ACF和PACF图。
仔细检查这些图：
- ACF是急剧截断，还是拖尾？
- PACF是急剧截断，还是拖尾？
- 相关性是几何式衰减还是振荡？
- 显著相关性在哪个滞后处截断（如果适用）？
根据模式和参考表，确定ARIMA(p, d, q)模型中最可能的 $p$ 和 $q$ 候选值（其中 $d$ 是您可能之前应用的差分阶数）。

“解读ACF和PACF图通常更像一门艺术而非精确科学，尤其是在处理噪声数据时。有时模式并不完全清晰。然而，它们为识别候选模型提供了不可或缺的起点，您将在接下来的章节中学习如何拟合和评估这些模型。”

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