在 Python 中绘制 ACF 和 PACF

自相关函数 (ACF) 和偏自相关函数 (PACF) 的生成和显示在 Python 中是时间序列分析的一个主要步骤。这些图是直观查看时间序列数据相关结构的基本工具，有助于识别潜在模型参数 (parameter)。为此，我们将主要使用 statsmodels 库。

请记住，ACF 和 PACF 分析通常在平稳的时间序列数据上进行。如果你的数据表现出趋势或季节性，你应该在生成这些图之前，应用差分等转换（如第 2 章所讨论的）来达到平稳。在非平稳数据上操作可能导致误导性的 ACF/PACF 图，因为潜在的相关性会被趋势或季节性掩盖。

生成自相关函数 (ACF) 图

statsmodels 库在其 graphics.tsaplots 模块中提供了一个方便的函数 plot_acf，用于计算和绘制 ACF。

假设你有一个存储在名为 stationary_series 的 Pandas Series 对象中的平稳时间序列。你可以这样生成 ACF 图：

import pandas as pd
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from statsmodels.graphics.tsaplots import plot_acf
from statsmodels.tsa.arima_process import ArmaProcess # 用于生成样本数据

# --- 生成样本平稳数据 (例如，AR(1) 过程) ---
# 这模拟了你可能在差分后得到的数据
np.random.seed(42)
ar_coeffs = np.array([1, -0.7]) # AR 参数 = 0.7
ma_coeffs = np.array([1])      # 没有 MA 部分
ar_process = ArmaProcess(ar_coeffs, ma_coeffs)
sample_data = ar_process.generate_sample(nsample=500)
stationary_series = pd.Series(sample_data)
# ------------------------------------------------------------

# 绘制 ACF
fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 5))
plot_acf(stationary_series, lags=20, ax=ax) # 绘制前 20 个滞后
ax.set_xlabel("滞后")
ax.set_ylabel("自相关性")
ax.set_title("自相关函数 (ACF)")
plt.show() # 显示图表

这段代码首先生成一些样本平稳数据（模拟一个 AR(1) 过程用于演示）。核心部分是对 plot_acf(stationary_series, lags=20, ax=ax) 的调用。

• 第一个参数 (parameter)是你的平稳时间序列数据（一个 Pandas Series 或 NumPy 数组）。
• lags 参数指定了要计算和显示的自相关滞后数量。选择合适的数量取决于你的数据频率和预期相关长度，但 20-40 个滞后通常是一个合理的起点。
• 我们传入一个 Matplotlib Axes 对象 (ax) 以更好地控制图表外观，尽管 plot_acf 在需要时可以生成自己的图。

生成的图表通常如下所示：

ACF 图显示了 y 轴上的相关系数，对应 x 轴上的不同时间滞后。蓝色的阴影区域表示置信区间（通常为 95%）。超出此范围的相关性被认为具有统计显著性。请注意，滞后为 0 时的 ACF 总是 1，因为任何序列都与自身完全相关。此示例显示了 AR 过程的典型模式：相关性呈指数衰减趋近于零。

生成偏自相关函数 (PACF) 图

类似地，statsmodels 提供了 plot_pacf 函数来计算和绘制 PACF。请记住，PACF 衡量的是序列与其滞后 $k$ 之间的相关性，同时去除了中间滞后 ($1, 2, ..., k-1$) 的线性影响。

用法与 plot_acf 类似：

# 假设 'stationary_series' 包含你的平稳数据
from statsmodels.graphics.tsaplots import plot_pacf

# 绘制 PACF
fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 5))
plot_pacf(stationary_series, lags=20, ax=ax, method='ywm') # 绘制前 20 个滞后
ax.set_xlabel("滞后")
ax.set_ylabel("偏自相关性")
ax.set_title("偏自相关函数 (PACF)")
plt.show() # 显示图表

我们再次使用 stationary_series。lags 参数 (parameter)的工作方式相同。method 参数指定了 PACF 的估计方法；'ywm' (Yule-Walker Modified) 是一种常用且通常是默认的方法。

生成的图表可以帮助我们理解观测值与其滞后之间的直接关系，同时排除了间接相关性：

PACF 图的结构与 ACF 图类似，x 轴为滞后，y 轴为偏相关性，并有一个置信区间带。同样，超出范围的值具有统计显著性。这个 PACF 示例图显示在滞后 1 之后有一个明显的截断，这是 AR(1) 过程的典型特征。所有滞后大于 1 的偏自相关性都接近于零并落在置信区间内。

初步解读

生成这些图是第一步。真正的价值在于解读显著峰值的模式：

• 自回归 (autoregressive) (AR) 过程通常显示 ACF 图中的相关性逐渐（通常呈指数或正弦曲线）衰减至零，而 PACF 图在某个滞后 $p$ 之后会急剧截断。PACF 截断的滞后数指示了 AR($p$) 模型的阶数 $p$。
• 移动平均 (MA) 过程通常显示相反的情况：ACF 图在某个滞后 $q$ 之后会急剧截断，而 PACF 图中的相关性逐渐衰减至零。ACF 截断的滞后数指示了 MA($q$) 模型的阶数 $q$。
• 自回归移动平均 (ARMA) 过程在 ACF 和 PACF 图中都表现出逐渐衰减。

上面生成的图表，基于模拟的 AR(1) 数据 ($y_t = 0.7 y_{t-1} + \epsilon_t$)，清晰地显示了这种 AR 模式：ACF 呈指数衰减，而 PACF 仅在滞后 1 处有显著峰值，然后截断（落在置信区间内）。

通过生成和检查这些平稳时间序列的图表，你可以获得关于数据生成过程的重要线索。这种视觉检查，结合稍后讨论的定量测量，有助于指导 ARIMA 模型中 $p$ 和 $q$ 阶数的选择，我们将在下一章中介绍。下一节将详细说明如何更系统地利用这些模式进行模型识别。