解读ACF/PACF以选择模型

自相关函数（ACF）和偏自相关函数（PACF）是时间序列分析中的基本工具，用于理解数据结构并指导模型选择。这些图揭示了表明平稳时间序列数据具有自回归 (autoregressive)（AR）、移动平均（MA）或组合ARMA特征的模式。ACF和PACF的解读通常在确保时间序列平稳之后进行，这通常通过差分来实现。

核心思想是，纯AR和MA过程在其ACF和PACF图上具有明显的理论特征。通过将您数据图中的模式与这些理论特征进行匹配，您可以提出所需模型的阶数假设。

阅读图表：显著性边界

在解读模式之前，请回顾ACF/PACF图通常包含表示显著性边界的阴影区域（通常是95%置信区间）。落在此边界之外的值被认为在统计上显著异于零。边界之内的值通常被认为在统计上不显著（与零相关性一致）。我们关注那些相关性峰值超出这些边界的滞后阶数。

识别AR(p)模型

阶数为$p$的自回归 (autoregressive)模型，记作AR(p)，表明序列的当前值与其前$p$个值呈线性关系。

$$Y_t = c + \phi_1 Y_{t-1} + \phi_2 Y_{t-2} + \dots + \phi_p Y_{t-p} + \epsilon_t$$

其中 $\epsilon_t$ 是白噪声。

一个AR(p)过程的理论特征是：

1. ACF： 逐渐拖尾。随着滞后阶数的增加，自相关性呈指数衰减或通过阻尼正弦波模式减弱。它不会突然降至零。
2. PACF： 在滞后阶数$p$之后急剧截断。偏自相关性在前$p$个滞后阶数上显著，然后对于随后的滞后阶数急剧降至统计上不显著（在边界内）。

因此，如果您观察到：

• ACF图中相关性缓慢衰减。
• PACF图在滞后阶数$p$之前有显著峰值，然后立即落入显著性边界内。

这种模式强烈表明**AR(p)**模型是合适的。阶数$p$由PACF图中最后一个显著滞后阶数决定。

AR(2)过程的PACF图示例。注意在滞后阶数1和2处的显著峰值，随后值位于显著性边界内（虚线/阴影区域）。这表明$p=2$。

识别MA(q)模型

阶数为$q$的移动平均模型，记作MA(q)，表明序列的当前值与当前及前$q$个白噪声误差项呈线性关系。

$$Y_t = c + \epsilon_t + \theta_1 \epsilon_{t-1} + \theta_2 \epsilon_{t-2} + \dots + \theta_q \epsilon_{t-q}$$

一个MA(q)过程的理论特征与AR(p)过程本质上相反：

1. ACF： 在滞后阶数$q$之后急剧截断。自相关性在前$q$个滞后阶数上显著，然后急剧降至统计上不显著。
2. PACF： 逐渐拖尾。随着滞后阶数的增加，偏自相关性减弱。

所以，如果您的图表显示：

• ACF图在滞后阶数$q$之前有显著峰值，然后立即落入显著性边界内。
• PACF图中相关性缓慢衰减。

这种模式强烈表明**MA(q)**模型是合适的。阶数$q$由ACF图中最后一个显著滞后阶数决定。

MA(1)过程的ACF图示例。仅在滞后阶数1处出现显著峰值，随后值为不显著。这表明$q=1$。

识别ARMA(p,q)模型

自回归 (autoregressive)移动平均模型ARMA(p,q)结合了AR和MA两部分。

$$Y_t = c + \phi_1 Y_{t-1} + \dots + \phi_p Y_{t-p} + \epsilon_t + \theta_1 \epsilon_{t-1} + \dots + \theta_q \epsilon_{t-q}$$

一个ARMA(p,q)过程的理论特征不那么明显：

1. ACF： 在滞后阶数$q$之后逐渐拖尾。
2. PACF： 在滞后阶数$p$之后逐渐拖尾。

如果ACF和PACF图都显示出逐渐衰减的模式（无论是指数型还是正弦型），这表明**ARMA(p,q)**模型可能适用。

直接从图表中识别具体的阶数$p$和$q$比纯AR或MA模型更具挑战性。“拖尾”行为不会给出精确的截断点。在实际应用中，如果两个图都拖尾，您可能会假设较低阶模型，如ARMA(1,1)、ARMA(2,1)或ARMA(1,2)，然后使用模型选择准则（如AIC或BIC，第六章讨论）和残差分析（第四章）来选择最合适的模型。

ARMA(1,1)过程的ACF和PACF图示例。两个函数都表现出拖尾行为，仅凭这些图难以精确识别阶数。

解读指导总结

模型	ACF模式	PACF模式
AR(p)	逐渐拖尾	在滞后阶数$p$后截断
MA(q)	在滞后阶数$q$后截断	逐渐拖尾
ARMA(p,q)	在滞后阶数$q$后拖尾	在滞后阶数$p$后拖尾

实际考量

• 需要平稳性： 这些解读适用于平稳时间序列。非平稳序列的ACF图通常显示非常缓慢的衰减，这种衰减会覆盖任何其他模式。始终首先确保平稳性。 "* 真实数据存在噪声： 理论模式是清晰的。数据图表可能会显示一些因随机因素而略微超出边界的峰值，尤其是在较高滞后阶数处。请寻找清晰的截断点或明显的拖尾模式。不要过度解读微小偏差。"
• 季节性： 如果您的数据具有季节性（例如，月度销售数据），您通常会在季节性滞后（例如12、24、36）处看到ACF/PACF中出现显著峰值。这表明需要季节性模型，如SARIMA，我们将在第五章讨论。非季节性阶数（$p, q$）有时仍可从初始非季节性滞后的行为中推断出来。
• 起点： 使用这些图表作为指导，提出候选模型阶数（$p, q$）。差分阶数$d$来自平稳性分析（第二章）。它们共同构成了尝试ARIMA(p, d, q)模型的基础，我们将在第四章中进一步分析。

通过仔细检查平稳时间序列的ACF和PACF图，您可以对其底层结构获得有价值的理解，为构建有效的ARIMA预测模型提供了坚实的基础。