理解偏度和峰度

均值、中位数、众数、方差和标准差等统计量可以告诉我们数据的中心位置和离散程度，但它们无法展现数据的全貌。两个数据集可能拥有相同的均值和标准差，但其形态可能大相径庭。此时，描述形态的统计量，特别是偏度和峰度，就显得很重要。它们分别帮助我们了解数据分布的不对称性和“尾部特征”。

偏度：衡量不对称性

偏度量化 (quantization)了分布偏离完全对称的程度。一个对称的分布，例如经典的钟形曲线（正态分布），其偏度为零。它的左右两边以中心峰值为轴呈镜像对称。

• 正偏态（右偏）： 如果分布的尾部延伸到右侧更远，则该分布呈正偏态。这表示存在一个低值聚集区，而尾部则指向高值。在正偏态分布中，均值通常大于中位数，而中位数又通常大于众数。出现这种情况是因为尾部的大数值将均值向上拉动。可以设想收入分布；大多数人收入适中，但少数高收入者会使平均收入明显升高。偏度值 > 0。
• 负偏态（左偏）： 相反，负偏态分布的尾部延伸到左侧更远。存在一个高值聚集区，而尾部则指向低值。在这种情况下，均值通常小于中位数，而中位数又通常小于众数。尾部的低数值将均值向下拉动。可以设想退休年龄；大多数人会在某个年龄段退休，但有些人会提早许多退休，从而拉低了平均值。偏度值 < 0。
• 零偏态（对称）： 该分布完全对称。均值、中位数和众数通常相等（或在实际中非常接近）。偏度值 ≈ 0。

比较对称（蓝色）、正偏态（橙色）和负偏态（紫色）分布。注意长尾相对于主峰的位置。

了解偏度很重要，因为高度偏斜的数据可能违反某些统计检验和机器学习 (machine learning)模型的假设（特别是那些假定数据正态性的模型，如线性回归）。有时，会对偏斜数据进行变换（如对数变换），使其在建模前更趋对称。

峰度：衡量尾部厚度和峰度

峰度衡量分布的“尾部特征”——即数据在尾部相对于中心部分的集中程度。它常与正态分布进行比较，正态分布被认为是中峰态。

标准的衡量方式是超额峰度，计算公式如下： $\text{超额峰度} = \text{峰度} - 3$ 正态分布的峰度为3，因此其超额峰度为0。

• 尖峰态（超额峰度 > 0）： 超额峰度为正的分布称为尖峰态。它们拥有比正态分布更厚的尾部，且通常峰值更尖锐。这表示极端值（异常值）出现的可能性比在正态分布中更大。金融市场回报常表现出尖峰态，这意味着大的收益或损失比正态模型预测的更常见。峰度值 > 3。
• 中峰态（超额峰度 ≈ 0）： 这描述的是尾部与正态分布相似的分布，例如正态分布本身。峰度值 ≈ 3。
• 平峰态（超额峰度 < 0）： 超额峰度为负的分布称为平峰态。它们拥有更薄的尾部，并且倾向于比正态分布更平坦（峰值更低）。这表示极端值出现的可能性较小。连续均匀分布是平峰态分布的一个例子。峰度值 < 3。

一个常见的误解是峰度只衡量分布的峰值高低。尽管峰值高低常有关联，但峰度的主要决定因素是尾部的“厚度”（权重 (weight)）。一个分布可以有高耸的峰值但尾部较薄，也可以有较低的峰值但尾部较厚。峰度具体反映了极端值的影响。

比较不同峰度的分布：尖峰态（红色，厚尾）、中峰态（蓝色，正态尾部）和平峰态（绿色，薄尾）。

高峰度（尖峰态）表明可能存在显著的异常值或肥尾现象，这对风险管理和模型选择很重要。低峰度（平峰态）则可能表示数据比正态分布更集中或更均匀。

偏度和峰度一起，对数据分布提供了更详尽的描述，补充了简单的中心和离散程度信息。计算这些值是探索性数据分析（EDA）中的一个标准步骤，并有助于确定后续的分析选择。像 Pandas 这样的库使得计算这些指标变得简单，我们将在本章后面看到。